Как изменить предел интегрирования

Сегодня детально проанализируем алгоритм изменения порядка интегрирования в двойном интеграле. Под изменением порядка интегрирования имеем в виду, что задан двойной интеграл в котором интегрирование проводится сначала по «икс», а дальше полученный результат интегрируют по «игрек». Нужно поменять пределы интегрирования, а возможно и разбить на несколько областей интегрирование, для того, чтобы сначала интегрировать по «игрек», а далее по «иксу». В курсе высшей математики подобные примеры учат решать достаточно длительное время, но не во всех это выходит. Схема изменения порядка интегрирования будет расписана на готовых примерах с красиво выполненными рисунками областей интегрирования. Кто-то может подумать, что рисунки здесь ни к чему, но прочитав статью целиком Вы поймете, что без рисунков Вы не сможете понять как изменяются пределы интегрирования, и как их правильно расставлять.

Пример 3.1 Изменить порядок интегрирования в двойном интеграле:

Решение: Построим область интегрирования ограниченую кривыми
0≤x≤4, 3x²≤y≤12x, где
y=3x² — парабола с вершиной в точке O(0;0) и ветками вверх;
y=12x — прямая, которая проходит через начало координат O(0;0).
График области интегрирования приведен на рисунке.

В этом примере «игрек» изменяется от нижней кривой (параболы) к верхней (прямой), в это время «икс» пробегает значение от 0 до 4.
При изменении порядка интегрирования мы будем пробегать значение от первой кривой по «иксу» (прямой) ко второй (параболы), «игрек» в это время будет проходить значение от 0 ко второй точке пересечения заданных кривых.
Отсюда следует, что для изменения порядка интегрирования нужно найти точки пересечения кривых, дальше для изменения пределов нужно перейти от y(x) к x(y) для этих самых пределов.
Выражаем заданные функции y(x) через переменную y:
y=3x², отсюда (перед корнем взяли знак «+», поскольку x≥0)
y=12x, отсюда x=y/12.
Найдем точки пересечения:
y=3x²=12x, отсюда

Расставим пределы в заданной области:
D: 0≤y≤48

Выполняем изменение порядка интегрирования 

Вот и вся схема перехода от интегрирования по y,x  к двойному интегралу по x,y.

Пример 3.2 Изменить порядок интегрирования: 

Решение: Запишем область интегрирования для заданного примера
a/2≤x≤a , где y=0 — ось абсцисс.
Превратим верхнюю кривую по y к каноническому виду
y=√(2ax-x²), y²=2ax-x², x²-2ax+a²+y²=a², (x-a)²+y²=a² — верхний полукруг с центром в начале координат O(a;0) и радиусом a.
На рисунку наведем область интегрирования

Найдем запись функции через переменную y:
(x-a)^2+y^2=a^2, (x-a)^2 =a^2-y^2,

При изменении порядка интегрирования нашу область необходимо разбить на две подобласти:
D=D₁+D₂.
Расставим пределы в каждой области:
D1: 0≤y≤a√3/2, a/2≤x≤a;
D2: a√3/2≤y≤a,
Дальше можем изменить порядок интегрирования

Внимательно пересмотрите фрагмент где область интегрирования разбивается на 2 участка, для чего это делается и от чего зависит.
Многие этого не понимают, поскольку не представляют что делаем, здесь же имеем график из которого видим, что в первой области «икс» изменяется от первой прямой x=a/2 ко второй x=a, во второй области переменная «икс» пробегает значение от полукруга к прямой x=a.

Пример 3.3 Изменить порядок интегрирования:

Решение: Область интегрирования ограничена кривыми
0≤y≤1, , где x=y²/2 — парабола с вершиной в точке O(0;0) и ветками вправо
x=√(3-y²), x²=3-y², x²+y²=(√3)² — правый полукруг с центром в точке O(0;0) и радиусом R=√3.
Для изменения порядка интегрирования выражаем функции через переменную x:
x=y²/2, y²=2x, y=√(2x);
x²=3-y², y²=3-x², y=√(3-x²).

Найдем точки пересечения графиков функций:
параболы с горизонтальной прямой

параболы с правой частью полукруга (І четверть)

Подставляем y² из второго уравнения системы уравнений в первое x=1,5-0,5x²;
При решении получим x=1.
Выполняем построение и разбитие на нужные подобласти интегрирования

Для изменения порядка интегрирования нашу область разобьем на три подобласти:
D=D₁+D₂+D₃.
Расставим пределы в каждой области:
D1: 0≤x≤0,5, 0≤y≤√(2x);
D2: 0,5≤x≤1, 0≤y≤1;
D3: 1≤x≤√3, 0≤y≤√(3-x²).

Внимательно разберитесь, как это сопоставить с областями на рисунку и почему именно такое разбитие здесь нужно выполнять.
Запишем как изменится интеграл при изменении порядка интегрирования

Думаю приведенных объяснений достаточно, чтобы самостоятельно научиться менять порядок интегрирования.

Пример 3.4 Изменить порядок интегрирования:

Решение: Построим область интегрирования, которая ограничена кривыми
0≤x≤π/2, 0≤y≤sin(x), где y=0 — ось абсцисс;
y=sin(x) — синусоида.
Выражаемый полученные функции через переменную y:
y=sin(x), отсюда x=arcsin(y);
y=0, отсюда x=0.
Графику кривых наведем на рисунку

Пределы интегрирования в заданной области поменяются на такие:
D: 0≤y≤1, 0≤x≤arcsin(y).
Записываем двойной интеграл с перечисленными пределами интегрирования

Имеем еще 5 готовых примеров на изменение порядка интегрирования, их Вы можете пересмотреть в следующей статье.

Для определенного интеграла справедливы все типы замен, что и для неопределенного интеграла, но иногда её проводить нельзя (о чём позже). Ну а основная новизна состоит в том, как поменять пределы интегрирования при замене? В примерах ниже я постараюсь привести такие типы замен, которые не встречались ранее:

Пример 5
Вычислить определенный интеграл

Во-первых, замечаем, что отрезок входит в область определения подынтегральной функции (подкоренное выражение больше нуля вообще при любом ).

И главный вопрос здесь не в определённом интеграле, а в том, какую подобрать замену. Смотрим в Таблицу интегралов (см. Приложения) и прикидываем, на что у нас больше всего похожа подынтегральная функция? Очевидно, что на длинный логарифм:  . Но есть одна неувязочка: в табличном интеграле под корнем , а в нашем – «икс» в четвёртой степени. И из этих рассуждений следует идея замены – неплохо бы нашу четвертую степень превратить в квадрат. Это реально.
Сначала готовим интеграл к замене:
 (прерываем решение для промежуточных действий)

Из вышеуказанных соображений совершенно естественно напрашивается замена:
, после чего в знаменателе будет всё хорошо: .

Выясняем, во что превратится оставшаяся часть  подынтегрального выражения, для этого навешиваем дифференциалы на обе части:

раскрываем дифференциал слева:

и выражаем нужный нам кусок:

По сравнению с заменой в неопределенном интеграле, у нас добавляется дополнительный этап: находим новые переделы интегрирования.

Это достаточно просто. Смотрим на нашу замену  и старые пределы интегрирования , .

Сначала подставляем в  нижний предел интегрирования, то есть, ноль:
,
затем подставляем верхний предел интегрирования – корень из трёх:

И всего-то лишь…. Завершаем решение:

(1) В соответствии с проведённой заменой, записываем новый интеграл с новыми пределами интегрирования.

(2) Это простейший табличный интеграл, интегрируем по таблице. Константу  лучше оставить за скобками, чтобы она не мешалась в дальнейших вычислениях. Справа отчеркиваем линию с указанием новых пределов интегрирования  – это подготовка для применения формулы Ньютона-Лейбница.

(3) Используем формулу Ньютона-Лейбница  и упрощаем результат по известной формуле.

И особенно приятно, что никаких обратных замен проводить не нужно.
А сейчас пара интегралов для самостоятельного решения. Какие замены проводить – постарайтесь догадаться самостоятельно.

Пример 6
Вычислить определенные интегралы
а) ,         б)

Решения и ответы в конце книги. Приложение Тригонометрические таблицы в помощь, в изучаемой теме этот справочный материал требуется довольно часто.

И теперь обещанный момент о правомерности замены. В определённой ситуации её проводить нельзя! Так, интеграл , казалось бы, разрешим с помощью универсальной тригонометрической подстановки , однако верхний предел интегрирования («пи») не входит в область определения этого тангенса и поэтому данная подстановка нелегальна! Таким образом, функция-«замена» должна быть непрерывна во всех точках отрезка  интегрирования.

1.5. А если подвести функцию под знак дифференциала?

1.3. Простейшие определённые интегралы

| Оглавление |



Полную и свежую версию данного курса в pdf-формате,
а также курсы по другим темам можно найти здесь.

Также вы можете изучить эту тему подробнее – просто, доступно, весело и бесплатно!

С наилучшими пожеланиями, Александр Емелин

Содержание:

1. Рассмотрим двойной интеграл
2. Как вычислить двойной интеграл?

Пример 1.

Изменить порядок интегрирования в интеграле:

Решение: В данном интеграле область интегрирования D — правильная область первого типа (рис. 10). По теореме 1 интеграл / записывается в виде двойного интеграла . Равенство означает, что точка D лежит на окружности Если то точка лежит на окружности Две эти окружности пересекаются в точках, для которых или при Подставляя это значение у в уравнение получаем

Для обоих интегралов переменная х принимает только отрицательные значения. Значит для точек лежащих на первой окружности, справедливо равенство а для точек второй окружности

Теперь, если рассмотреть область интегрирования D как правильную область второго типа, то согласно теореме 2 интеграл / записывается в виде

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по высшей математике:

Пример 2.

Изменить порядок интегрирования в повторном» интеграле.

Решение:

Область интегрирования D ограничена линиями Так как правый участок границы области D задан двумя линиями, то прямая у = 1 разбивает ее наобласти В результате получаем

Пример 3.

Изменить порядок интегрирования в повторном интеграле

написать уравнения кривых, ограничивающих область ингегрирования, построить эту область.

Решение:

Образец выполнения задания в Mathcad:

Зададим подынтегральную функцию и определим границы области интегрирования по пределам повторного интеграла:

Найдем точки пересечения графиков функций: это точки с координатами

Изменим порядок интегрирования. Для этого надо выразить уравнения границ в виде: Область интегрирования разбиваегся на две части, левая и правая границы которых однозначно определены. Исходный интеграл записывается в виде суммы двух интегралов.

Указание. Для того, чтобы задать уравнения границ в виде: или надо определить границу в виде: и записать функцию Затем в меню Символика выбрать команду Разрешить относительно переменной, выделив сначала у или х в зависимости от того, какое уравнение хотим получить. Функции — есть уравнения границ в другом виде.

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Рассмотрим двойной интеграл

в прямоугольных координатах Предположим, что переменные х и у являются функциями двух переменных и эти функции непрерывны вместе со своими частными производными первого порядка по в некоторой замкнутой области G плоскости . Предположим также, что эти функции взаимно однозначно и непрерывно отображают область G на область D.

Тогда имеет место равенство называется якобианом преобразования G в D (предполагается, что определитель J, названный в честь немецкого математика Якоби, всюду в G отличен от нуля). Геометрически |J(u, v)dudv выражает элемент площади в области G, а — коэффициент изменения элемента площади G при преобразовании в элемент площади D.

Координаты называются криволинейными координатами точки , поскольку уравнения представляют некоторые линии, вообще говоря, кривые, в области G.

Интеграл

называется двойным интегралом в криволинейных координатах.

Простейшим и важнейшим частным случаем криволинейных координат являются полярные координаты Они связаны с прямоугольными координатами формулами Якобиан преобразования в этом случае равен

a — элемент площади в полярных координатах.

При этом имеет место формула замены переменных в двойном интеграле при переходе к полярным координатам К полярным координатам особенно удобно переходить в тех случаях, когда область интегрирования круг или часть круга.

Расстановка пределов и вычисление двойного интеграла в криволинейных координатах выполняется аналогично случаю прямоугольных координат.

Как вычислить двойной интеграл?

по области D, ограниченной прямыми

Решение:

Область D — параллелограмм АВСК (рис. 19 а). Хотя подынтегральная функция и область интегрирования просты, вычисление данного интеграла в прямоугольных координатах достаточно громоздко (убедитесь самостоятельно). Заметив, что уравнения прямых можно записать в виде перейдем к новым координатам, для чего обозначим Имеем

В новой системе координат область G ограничена прямыми т.е. представляет собой прямоугольник (рис. 19 6), а подынтегральная функция равна

Отметим, что первая система формул, написанная выше, преобразует параллелограмм АВС К в прямоугольник вторая система — наоборот, преобразует прямоугольник в параллелограмм АВСК. При этом видно, что направление обхода вершин одной фигуры соответствует противоположному направлению обхода вершин другой. Именно поэтому Переходим к вычислениям:

Область D изображена на рис. 20 а. Заметим, что расставить пределы интегрирования в исходном интеграле не просто, однако подходящая замена переменных позволяет свести этот интеграл к интегралу по прямоугольнику.

Введем новые переменные при помощи равенств Выразим отсюда переменные через

Находим якобиан полученного преобразования

откуда, с учетом того, что на области D, а значит, имеем

Таким образом, исходный интеграл в плоскости имеет вид

Граница области G описывается линиями (так как одна из формул преобразования имеет вид то линии в плоскости соответствует линия в плоскости ), (рис. 20 6).

Поэтому область G имеет вид (т. е. представляет собой прямоугольник), а преобразованный интеграл вычисляется намного проще: Вычислить интеграл

Строим круг радиуса а с центром в точке (а, 0) (рис. 21). Подынтегральная функция четная по переменной а область интегрирования симметрична относительно оси . Поэтому можно вычислить интеграл только по верхнему полукругу и результат удвоить: Переходим к полярным координатам Для удобства расстановки пределов в полярных координатах совместим полярную систему с прямоугольной так, как это показано на рис. 21. Тогда полукруг D/2 в полярных координатах задается системой неравенств подынтегральная функция примет вид

Таким образом,

В определенном интеграле можно переставить верхний и нижний предел, сменив при этом знак:

Например,
в определенном интеграле перед
интегрированием 
 целесообразно
поменять пределы интегрирования на
«привычный» порядок:

 –
в
таком виде интегрировать  значительно
удобнее.

Как
и для неопределенного интеграла, для
определенного интеграла справедливы
свойства линейности:

 –
это
справедливо не только для двух, но и для
любого количества функций.

В
определенном интеграле можно
проводить замену
переменной интегрирования,
правда, по сравнению с неопределенным
интегралом тут есть своя специфика, о
которой мы еще поговорим.

Для
определенного интеграла справедлива формула
интегрирования по частям:

Пример
1

Вычислить
определенный интеграл

Решение:

(1)
Выносим константу за знак интеграла.

(2)
Интегрируем по таблице с помощью самой
популярной формулы 
.
Появившуюся константу 
 целесообразно
отделить от 
 и
вынести за скобку. Делать это не
обязательно, но желательно – зачем
лишние вычисления?

(3)
Используем формулу Ньютона-Лейбница 
.
Сначала подставляем в 
 верхний
предел, затем – нижний предел. Проводим
дальнейшие вычисления и получаем
окончательный ответ.

Пример
2

Вычислить
определенный интеграл

Это
пример для самостоятельно решения,
решение и ответ в конце урока.

Немного
усложняем задачу:

Пример
3

Вычислить
определенный интеграл

Решение:

(1)
Используем свойства линейности
определенного интеграла.

(2)
Интегрируем по таблице, при этом все
константы выносим – они не будут
участвовать в подстановке верхнего и
нижнего предела.

(3)
Для каждого из трёх слагаемых применяем
формулу Ньютона-Лейбница:

СЛАБОЕ
ЗВЕНО в определенном интеграле – это
ошибки вычислений и часто встречающаяся
ПУТАНИЦА В ЗНАКАХ. Будьте внимательны!
Особое внимание заостряю на третьем
слагаемом: 
 –
первое место в хит-параде ошибок по
невнимательности, очень часто машинально
пишут 
 (особенно,
когда подстановка верхнего и нижнего
предела проводится устно и не расписывается
так подробно). Еще раз внимательно
изучите вышерассмотренный пример.

Следует
заметить, что рассмотренный способ
решения определенного интеграла – не
единственный. При определенном опыте,
решение можно значительно сократить.
Например, я сам привык решать подобные
интегралы так:

Здесь
я устно использовал правила линейности,
устно проинтегрировал по таблице. У
меня получилась всего одна скобка с
отчёркиванием пределов: 
 (в
отличие от трёх скобок в первом способе).
И в «целиковую» первообразную функцию,
я сначала подставил сначала 4, затем –2,
опять же выполнив все действия в уме.

Какие
недостатки у короткого способа решения?
Здесь всё не очень хорошо с точки зрения
рациональности вычислений, но лично
мне всё равно – обыкновенные дроби я
считаю на калькуляторе.

Кроме того,
существует повышенный риск допустить
ошибку в вычислениях, таким образом, 
студенту-чайнику лучше использовать
первый способ, при «моём» способе решения
точно где-нибудь потеряется знак.

Несомненными
преимуществами второго способа является
быстрота решения, компактность записи
и тот факт, что первообразная 
 находится
в одной скобке.

Совет:
перед тем, как использовать формулу
Ньютона-Лейбница, полезно провести
проверку: а сама-то первообразная найдена
правильно?

Так,
применительно к рассматриваемому
примеру: перед тем, как в первообразную
функцию  
 подставлять
верхний и нижний пределы, желательно
на черновике проверить, а правильно ли
вообще найден неопределенный интеграл?
Дифференцируем:

Получена
исходная подынтегральная функция,
значит, неопределенный интеграл найден
верно. Теперь можно и формулу
Ньютона-Лейбница применить.

Такая
проверка будет не лишней при вычислении
любого определенного интеграла.

Пример
4

Вычислить
определенный интеграл

Это
пример для самостоятельно решения.
Попробуйте решить его коротким и
подробным способом.

Замена
переменной в определенном интеграле

Для
определенного интеграла справедливы
все типы замен, что и для неопределенного
интеграла. Таким образом, если с заменами
у Вас не очень, следует внимательно
ознакомиться с уроком Метод
замены в неопределенном интеграле.

В
этом параграфе нет ничего страшного
или сложного. Единственная новизна
состоит в вопросе, как поменять пределы
интегрирования при замене.

В
примерах я постараюсь привести такие
типы замен, которые еще нигде не
встречались на сайте.

Пример
5

Вычислить
определенный интеграл

Главный
вопрос здесь вовсе не в определенном
интеграле, а в том, как правильно провести
замену. Смотрим в таблицу
интегралов и
прикидываем, на что у нас больше всего
похожа подынтегральная функция? Очевидно,
что на длинный логарифм:  
.
Но есть одна неувязочка, в табличном
интеграле под корнем 
,
а в нашем – «икс» в четвёртой степени.
Из рассуждений следует и идея замены –
неплохо бы нашу четвертую степень
как-нибудь превратить в квадрат. Это
реально.

Сначала
готовим наш интеграл к замене:

Из
вышеуказанных соображений совершенно
естественно напрашивается замена: 

Таким
образом, в знаменателе будет всё
хорошо: 
.

Выясняем,
во что превратится оставшаяся
часть 
 подынтегрального
выражения, для этого находим дифференциал 
:

По
сравнению с заменой в неопределенном
интеграле у нас добавляется дополнительный
этап.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #