При формулировании статистического вывода ошибкой 1 го рода называется

Ошибки I и II рода при проверке гипотез, мощность

Общий обзор

Принятие неправильного решения

Мощность и связанные факторы

Проверка множественных гипотез

Общий обзор

Большинство проверяемых гипотез сравнивают между собой группы объектов, которые испытывают влияние различных факторов.

Например, можно сравнить эффективность двух видов лечения, чтобы сократить 5-летнюю смертность от рака молочной железы. Для данного исхода (например, смерть) сравнение, представляющее интерес (напри­мер, различные показатели смертности через 5 лет), называют эффектом или, если уместно, эффектом лечения.

Нулевую гипотезу выражают как отсутствие эффекта (например 5-летняя смертность от рака мо­лочной железы одинаковая в двух группах, получаю­щих разное лечение); двусторонняя альтернативная гипотеза будет означать, что различие эффектов не равно нулю.

Критериальная проверка гипотезы дает возможность определить, достаточно ли аргументов, чтобы отвергнуть нулевую гипотезу. Можно принять только одно из двух решений:

1. отвергнуть нулевую гипотезу и принять альтер­нативную гипотезу
   
2. остаться в рамках нулевой гипотезы

Важно: В литературе достаточно часто встречается понятие «принять нулевую гипотезу». Хотелось бы внести ясность, что со статистической точки зрения принять нулевую гипотезу невозможно, т.к. нулевая гипотеза представляет собой достаточно строгое утверждение (например, средние значения в сравниваемых группах равны ).

Поэтому фразу о принятии нулевой гипотезы следует понимать как то, что мы просто остаемся в рамках гипотезы.

Принятие неправильного решения

Возможно неправильное решение, когда отвергают/не отвергают нулевую гипотезу, потому что есть только выборочная информация.

	Верная гипотеза
H0	H1
Результат  применения  критерия	H0	H0 верно принята	H0 неверно принята  (Ошибка второго рода)
H1	H0 неверно отвергнута  (Ошибка первого рода)	H0 верно отвергнута

Ошибка 1-го рода: нулевую гипотезу отвергают, когда она истинна, и делают вывод, что имеется эффект, когда в действительности его нет. Максимальный шанс (вероятность) допустить ошибку 1-го рода обозначается α (альфа). Это уровень значимости критерия; нулевую гипотезу отвергают, если наше значение p ниже уровня значимости, т. е., если p < α.

Следует принять решение относительно значения а прежде, чем будут собраны данные; обычно назначают условное значение 0,05, хотя можно выбрать более ограничивающее значение, например 0,01.

Шанс допустить ошибку 1-го рода никогда не превысит выбранного уровня значимости, скажем α = 0,05, так как нулевую гипотезу отвергают только тогда, когда p< 0,05. Если обнаружено, что p > 0,05, то нулевую гипотезу не отвергнут и, следовательно, не допустят ошибки 1-го рода.

Ошибка 2-го рода: не отвергают нулевую гипотезу, когда она ложна, и делают вывод, что нет эффекта, тогда как в действительности он существует. Шанс возникновения ошибки 2-го рода обозначается β (бета); а величина (1-β) называется мощностью критерия.

Следовательно, мощность — это вероятность отклонения нулевой гипотезы, когда она ложна, т.е. это шанс (обычно выраженный в процентах) обнаружить реальный эффект лечения в выборке данного объема как статистически значимый.

В идеале хотелось бы, чтобы мощность критерия составляла 100%; однако это невозможно, так как всегда остается шанс, хотя и незначительный, допустить ошибку 2-го рода.

К счастью, известно, какие факторы влияют на мощность и, таким образом, можно контролировать мощность критерия, рассматривая их.

Мощность и связанные факторы

Планируя исследование, необходимо знать мощность предложенного критерия. Очевидно, можно начинать исследование, если есть «хороший» шанс обнаружить уместный эффект, если таковой существует (под «хорошим» мы подразумеваем, что мощность должна быть по крайней мере 70-80%).

Этически безответственно начинать исследование, у которого, скажем, только 40% вероятности обнаружить реальный эффект лечения; это бесполезная трата времени и денежных средств.

Ряд факторов имеют прямое отношение к мощности критерия.

Объем выборки: мощность критерия увеличивается по мере увеличения объема выборки. Это означает, что у большей выборки больше возможностей, чем у незначительной, обнаружить важный эффект, если он существует.

Когда объем выборки небольшой, у критерия может быть недостаточно мощности, чтобы обнаружить отдельный эффект. Эти методы также можно использовать для оценки мощности критерия для точно установленного объема выборки.

Вариабельность наблюдений: мощность увеличивается по мере того, как вариабельность наблюдений уменьшается.

Интересующий исследователя эффект: мощность критерия больше для более высоких эффектов. Критерий проверки гипотез имеет больше шансов обнаружить значительный реальный эффект, чем незначительный.

Уровень значимости: мощность будет больше, если уровень значимости выше (это эквивалентно увеличению допущения ошибки 1-го рода, α, а допущение ошибки 2-го рода, β, уменьшается).

Таким образом, вероятнее всего, исследователь обнаружит реальный эффект, если на стадии планирования решит, что будет рассматривать значение р как значимое, если оно скорее будет меньше 0,05, чем меньше 0,01.

Обратите внимание, что проверка ДИ для интересующего эффекта указывает на то, была ли мощность адекватной. Большой доверительный интервал следует из небольшой выборки и/или набора данных с существенной вариабельностью и указывает на недостаточную мощность.

Проверка множественных гипотез

Часто нужно выполнить критериальную проверку значимости множественных гипотез на наборе данных с многими переменными или существует более двух видов лечения.

Ошибка 1-го рода драматически увеличивается по мере увеличения числа сравнений, что приводит к ложным выводам относительно гипотез. Следовательно, следует проверить только небольшое число гипотез, выбранных для достижения первоначальной цели исследования и точно установленных априорно.

Можно использовать какую-нибудь форму апостериорного уточнения значения р, принимая во внимание число выполненных проверок гипотез.

Например, при подходе Бонферрони (его часто считают довольно консервативным) умножают каждое значение р на число выполненных проверок; тогда любые решения относительно значимости будут основываться на этом уточненном значении р.

Связанные определения:
p-уровень
Альтернативная гипотеза, альтернатива
Альфа-уровень
Бета-уровень
Гипотеза
Двусторонний критерий
Критерий для проверки гипотезы
Критическая область проверки гипотезы
Мощность
Мощность исследования
Мощность статистического критерия
Нулевая гипотеза
Односторонний критерий
Ошибка I рода
Ошибка II рода
Статистика критерия
Эквивалентные статистические критерии

В начало

Содержание портала

Ошибки, встроенные в систему: их роль в статистике

В прошлой статье я указал, как распространена проблема неправильного использования t-критерия в научных публикациях (и это возможно сделать только благодаря их открытости, а какой трэш творится при его использовании во всяких курсовых, отчетах, обучающих задачах и т.д. — неизвестно). Чтобы обсудить это, я рассказал об основах дисперсионного анализа и задаваемом самим исследователем уровне значимости α. Но для полного понимания всей картины статистического анализа необходимо подчеркнуть ряд важных вещей. И самая основная из них — понятие ошибки.

Ошибка и некорректное применение: в чем разница?

В любой физической системе содержится какая-либо ошибка, неточность. В самой разнообразной форме: так называемый допуск — отличие в размерах разных однотипных изделий; нелинейная характеристика — когда прибор или метод измеряют что-то по строго известному закону в определенных пределах, а дальше становятся неприменимыми; дискретность — когда мы чисто технически не можем обеспечить плавность выходной характеристики.

И в то же время существует чисто человеческая ошибка — некорректное использование устройств, приборов, математических законов. Между ошибкой, присущей системе, и ошибкой применения этой системы есть принципиальная разница. Важно различать и не путать между собой эти два понятия, называемые одним и тем же словом «ошибка». Я в данной статье предпочитаю использовать слово «ошибка» для обозначения свойства системы, а «некорректное применение» — для ошибочного ее использования.

То есть, ошибка линейки равна допуску оборудования, наносящего штрихи на ее полотно. А ошибкой в смысле некорректного применения было бы использовать ее при измерении деталей наручных часов. Ошибка безмена написана на нем и составляет что-то около 50 граммов, а неправильным использованием безмена было бы взвешивание на нем мешка в 25 кг, который растягивает пружину из области закона Гука в область пластических деформаций. Ошибка атомно-силового микроскопа происходит из его дискретности — нельзя «пощупать» его зондом предметы мельче, чем диаметром в один атом. Но способов неправильно использовать его или неправильно интерпретировать данные существует множество. И так далее.

Так, а что же за ошибка имеет место в статистических методах? А этой ошибкой как раз и является пресловутый уровень значимости α.

Ошибки первого и второго рода

Ошибкой в математическом аппарате статистики является сама ее Байесовская вероятностная сущность. В прошлой статье я уже упоминал, на чем стоят статистические методы: определение уровня значимости α как наибольшей допустимой вероятности неправомерно отвергнуть нулевую гипотезу, и самостоятельное задание исследователем этой величины перед исследователем.
Вы уже видите эту условность? На самом деле, в критериальных методах нету привычной математической строгости. Математика здесь оперирует вероятностными характеристиками.
И тут наступает еще один момент, где возможна неправильная трактовка одного слова в разном контексте. Необходимо различать само понятие вероятности и фактическую реализацию события, выражающуюся в распределении вероятности. Например, перед началом любого нашего эксперимента мы не знаем, какую именно величину мы получим в результате. Есть два возможных исхода: загадав некоторое значение результата, мы либо действительно его получим, либо не получим. Логично, что вероятность и того, и другого события равна 1/2. Но показанная в предыдущей статье Гауссова кривая показывает распределение вероятности того, что мы правильно угадаем совпадение.

Наглядно можно проиллюстрировать это примером. Пусть мы 600 раз бросаем два игральных кубика — обычный и шулерский. Получим следующие результаты:

До эксперимента для обоих кубиков выпадение любой грани будет равновероятно — 1/6. Однако после эксперимента проявляется сущность шулерского кубика, и мы можем сказать, что плотность вероятности выпадения на нем шестерки — 90%.

Другой пример, который знают химики, физики и все, кто интересуется квантовыми эффектами — атомные орбитали. Теоретически электрон может быть «размазан» в пространстве и находиться практически где угодно. Но на практике есть области, где он будет находиться в 90 и более процентах случаев. Эти области пространства, образованные поверхностью с плотностью вероятности нахождения там электрона 90%, и есть классические атомные орбитали, в виде сфер, гантелей и т.д.

Так вот, самостоятельно задавая уровень значимости, мы заведомо соглашаемся на описанную в его названии ошибку. Из-за этого ни один результат нельзя считать «стопроцентно достоверным» — всегда наши статистические выводы будут содержать некоторую вероятность сбоя.

Ошибка, формулируемая определением уровня значимости α, называется ошибкой первого рода. Ее можно определить, как «ложная тревога», или, более корректно, ложноположительный результат. В самом деле, что означают слова «ошибочно отвергнуть нулевую гипотезу»? Это значит, по ошибке принять наблюдаемые данные за значимые различия двух групп. Поставить ложный диагноз о наличии болезни, поспешить явить миру новое открытие, которого на самом деле нет — вот примеры ошибок первого рода.

Но ведь тогда должны быть и ложноотрицательные результаты? Совершенно верно, и они называются ошибками второго рода. Примеры — не поставленный вовремя диагноз или же разочарование в результате исследования, хотя на самом деле в нем есть важные данные. Ошибки второго рода обозначаются буквой, как ни странно, β. Но само это понятие не так важно для статистики, как число 1-β. Число 1-β называется мощностью критерия, и как нетрудно догадаться, оно характеризует способность критерия не упустить значимое событие.
Однако содержание в статистических методах ошибок первого и второго рода не является только лишь их ограничением. Само понятие этих ошибок может использоваться непосредственным образом в статистическом анализе. Как?

ROC-анализ

ROC-анализ (от receiver operating characteristic, рабочая характеристика приёмника) — это метод количественного определения применимости некоторого признака к бинарной классификации объектов. Говоря проще, мы можем придумать некоторый способ, как отличить больных людей от здоровых, кошек от собак, черное от белого, а затем проверить правомерность такого способа. Давайте снова обратимся к примеру.

Пусть вы — подающий надежды криминалист, и разрабатываете новый способ скрытно и однозначно определять, является ли человек преступником. Вы придумали количественный признак: оценивать преступные наклонности людей по частоте прослушивания ими Михаила Круга. Но будет ли давать адекватные результаты ваш признак? Давайте разбираться.
Вам понадобится две группы людей для валидации вашего критерия: обычные граждане и преступники. Положим, действительно, среднегодовое время прослушивания ими Михаила Круга различается (см. рисунок):

Здесь мы видим, что по количественному признаку времени прослушивания наши выборки пересекаются. Кто-то слушает Круга спонтанно по радио, не совершая преступлений, а кто-то нарушает закон, слушая другую музыку или даже будучи глухим. Какие у нас есть граничные условия? ROC-анализ вводит понятия селективности (чувствительности) и специфичности. Чувствительность определяется как способность выявлять все-все интересующие нас точки (в данном примере — преступников), а специфичность — не захватывать ничего ложноположительного (не ставить под подозрение простых обывателей). Мы можем задать некоторую критическую количественную черту, отделяющую одних от других (оранжевая), в пределах от максимальной чувствительности (зеленая) до максимальной специфичности (красная).
Посмотрим на следующую схему:

Смещая значение нашего признака, мы меняем соотношения ложноположительного и ложноотрицательного результатов (площади под кривыми). Точно так же мы можем дать определения Чувствительность = Полож. рез-т/(Полож. рез-т + ложноотриц. рез-т) и Специфичность = Отриц. рез-т/(Отриц. рез-т + ложноположит. рез-т).

Но главное, мы можем оценить соотношение положительных результатов к ложноположительным на всем отрезке значений нашего количественного признака, что и есть наша искомая ROC-кривая (см. рисунок):

А как нам понять из этого графика, насколько хорош наш признак? Очень просто, посчитать площадь под кривой (AUC, area under curve). Пунктирная линия (0,0; 1,1) означает полное совпадение двух выборок и совершенно бессмысленный критерий (площадь под кривой равна 0,5 от всего квадрата). А вот выпуклость ROC кривой как раз и говорит о совершенстве критерия. Если же нам удастся найти такой критерий, что выборки вообще не будут пересекаться, то площадь под кривой займет весь график. В целом же признак считается хорошим, позволяющим надежно отделить одну выборку от другой, если AUC > 0,75-0,8.

С помощью такого анализа вы можете решать самые разные задачи. Решив, что слишком много домохозяек оказались под подозрением из-за Михаила Круга, а кроме того упущены опасные рецидивисты, слушающие Ноггано, вы можете отвергнуть этот критерий и разработать другой.

Возникнув, как способ обработки радиосигналов и идентификации «свой-чужой» после атаки на Перл-Харбор (отсюда и пошло такое странное название про характеристику приемника), ROC-анализ нашел широкое применение в биомедицинской статистике для анализа, валидации, создания и характеристики панелей биомаркеров и т.д. Он гибок в использовании, если оно основано на грамотной логике. Например, вы можете разработать показания для медицинской диспансеризации пенсионеров-сердечников, применив высокоспецифичный критерий, повысив эффективность выявления болезней сердца и не перегружая врачей лишними пациентами. А во время опасной эпидемии ранее неизвестного вируса вы наоборот, можете придумать высокоселективный критерий, чтобы от вакцинации в прямом смысле не ускользнул ни один чих.

С ошибками обоих родов и их наглядностью в описании валидируемых критериев мы познакомились. Теперь же, двигаясь от этих логических основ, можно разрушить ряд ложных стереотипных описаний результатов. Некоторые неправильные формулировки захватывают наши умы, часто путаясь своими схожими словами и понятиями, а также из-за очень малого внимания, уделяемого неверной интерпретации. Об этом, пожалуй, нужно будет написать отдельно.

Ошибки первого и второго рода

Выдвинутая гипотеза
может быть правильной или неправильной,
поэтому возникает необходимость её
проверки. Поскольку проверку производят
статистическими методами, её называют
статистической. В итоге статистической
проверки гипотезы в двух случаях может
быть принято неправильное решение, т.
е. могут быть допущены ошибки двух родов.

Ошибка первого
рода состоит в том, что будет отвергнута
правильная гипотеза.

Ошибка второго
рода состоит в том, что будет принята
неправильная гипотеза.

Подчеркнём, что
последствия этих ошибок могут оказаться
весьма различными. Например, если
отвергнуто правильное решение «продолжать
строительство жилого дома», то эта
ошибка первого рода повлечёт материальный
ущерб: если же принято неправильное
решение «продолжать строительство»,
несмотря на опасность обвала стройки,
то эта ошибка второго рода может повлечь
гибель людей. Можно привести примеры,
когда ошибка первого рода влечёт более
тяжёлые последствия, чем ошибка второго
рода.

Замечание 1.
Правильное решение может быть принято
также в двух случаях:

1. гипотеза принимается,
   причём и в действительности она
   правильная;

2. гипотеза отвергается,
   причём и в действительности она неверна.

Замечание 2.
Вероятность совершить ошибку первого
рода принято обозначать через
;
её называют уровнем значимости. Наиболее
часто уровень значимости принимают
равным 0,05 или 0,01. Если, например, принят
уровень значимости, равный 0,05, то это
означает, что в пяти случаях из ста
имеется риск допустить ошибку первого
рода (отвергнуть правильную гипотезу).

Статистический
критерий проверки нулевой гипотезы.
Наблюдаемое значение критерия

Для проверки
нулевой гипотезы используют специально
подобранную случайную величину, точное
или приближённое распределение которой
известно. Обозначим эту величину в целях
общности через
.

Статистическим
критерием
(или просто критерием) называют случайную
величину
,
которая служит для проверки нулевой
гипотезы.

Например, если
проверяют гипотезу о равенстве дисперсий
двух нормальных генеральных совокупностей,
то в качестве критерия
принимают отношение исправленных
выборочных дисперсий:.

Эта величина
случайная, потому что в различных опытах
дисперсии принимают различные, наперёд
неизвестные значения, и распределена
по закону Фишера – Снедекора.

Для проверки
гипотезы по данным выборок вычисляют
частные значения входящих в критерий
величин и таким образом получают частное
(наблюдаемое) значение критерия.

Наблюдаемым
значением
называют значение критерия, вычисленное
по выборкам. Например, если по двум
выборкам найдены исправленные выборочные
дисперсиии,
то наблюдаемое значение критерия.

Критическая
область. Область принятия гипотезы.
Критические точки

После выбора
определённого критерия множество всех
его возможных значений разбивают на
два непересекающихся подмножества:
одно из них содержит значения критерия,
при которых нулевая гипотеза отвергается,
а другая – при которых она принимается.

Критической
областью называют совокупность значений
критерия, при которых нулевую гипотезу
отвергают.

Областью принятия
гипотезы (областью допустимых значений)
называют совокупность значений критерия,
при которых гипотезу принимают.

Основной принцип
проверки статистических гипотез можно
сформулировать так: если наблюдаемое
значение критерия принадлежит критической
области – гипотезу отвергают, если
наблюдаемое значение критерия принадлежит
области принятия гипотезы – гипотезу
принимают.

Поскольку критерий
— одномерная случайная величина, все её
возможные значения принадлежат некоторому
интервалу. Поэтому критическая область
и область принятия гипотезы также
являются интервалами и, следовательно,
существуют точки, которые их разделяют.

Критическими
точками (границами)
называют точки, отделяющие критическую
область от области принятия гипотезы.

Различают
одностороннюю (правостороннюю или
левостороннюю) и двустороннюю критические
области.

Правосторонней
называют критическую область, определяемую
неравенством
>,
где— положительное число.

Левосторонней
называют критическую область, определяемую
неравенством
<,
где— отрицательное число.

Односторонней
называют правостороннюю или левостороннюю
критическую область.

Двусторонней
называют критическую область, определяемую
неравенствами
где.

В частности, если
критические точки симметричны относительно
нуля, двусторонняя критическая область
определяется неравенствами ( в
предположении, что
>0):

,
или равносильным неравенством
.

Отыскание
правосторонней критической области

Как найти критическую
область? Обоснованный ответ на этот
вопрос требует привлечения довольно
сложной теории. Ограничимся её элементами.
Для определённости начнём с нахождения
правосторонней критической области,
которая определяется неравенством
>,
где>0.
Видим, что для отыскания правосторонней
критической области достаточно найти
критическую точку. Следовательно,
возникает новый вопрос: как её найти?

Для её нахождения
задаются достаточной малой вероятностью
– уровнем значимости
.
Затем ищут критическую точку,
исходя из требования, чтобы при условии
справедливости нулевой гипотезы
вероятность того, критерийпримет значение, большее,
была равна принятому уровню значимости:
Р(>)=.

Для каждого критерия
имеются соответствующие таблицы, по
которым и находят критическую точку,
удовлетворяющую этому требованию.

Замечание 1.
Когда
критическая точка уже найдена, вычисляют
по данным выборок наблюдаемое значение
критерия и, если окажется, что
>,
то нулевую гипотезу отвергают; если же<,
то нет оснований, чтобы отвергнуть
нулевую гипотезу.

Пояснение. Почему
правосторонняя критическая область
была определена, исходя из требования,
чтобы при справедливости нулевой
гипотезы выполнялось соотношение

Р(>)=?
(*)

Поскольку вероятность
события
>мала (— малая вероятность), такое событие при
справедливости нулевой гипотезы, в силу
принципа практической невозможности
маловероятных событий, в единичном
испытании не должно наступить. Если всё
же оно произошло, т.е. наблюдаемое
значение критерия оказалось больше,
то это можно объяснить тем, что нулевая
гипотеза ложна и, следовательно, должна
быть отвергнута. Таким образом, требование
(*) определяет такие значения критерия,
при которых нулевая гипотеза отвергается,
а они и составляют правостороннюю
критическую область.

Замечание 2.
Наблюдаемое значение критерия может
оказаться большим
не потому, что нулевая гипотеза ложна,
а по другим причинам (малый объём выборки,
недостатки методики эксперимента и
др.). В этом случае, отвергнув правильную
нулевую гипотезу, совершают ошибку
первого рода. Вероятность этой ошибки
равна уровню значимости.
Итак, пользуясь требованием (*), мы с
вероятностьюрискуем совершить ошибку первого рода.

Замечание 3. Пусть
нулевая гипотеза принята; ошибочно
думать, что тем самым она доказана.
Действительно, известно, что один пример,
подтверждающий справедливость некоторого
общего утверждения, ещё не доказывает
его. Поэтому более правильно говорить,
«данные наблюдений согласуются с нулевой
гипотезой и, следовательно, не дают
оснований её отвергнуть».

На практике для
большей уверенности принятия гипотезы
её проверяют другими способами или
повторяют эксперимент, увеличив объём
выборки.

Отвергают гипотезу
более категорично, чем принимают.
Действительно, известно, что достаточно
привести один пример, противоречащий
некоторому общему утверждению, чтобы
это утверждение отвергнуть. Если
оказалось, что наблюдаемое значение
критерия принадлежит критической
области, то этот факт и служит примером,
противоречащим нулевой гипотезе, что
позволяет её отклонить.

Отыскание
левосторонней и двусторонней критических
областей***

Отыскание
левосторонней и двусторонней критических
областей сводится (так же, как и для
правосторонней) к нахождению соответствующих
критических точек. Левосторонняя
критическая область определяется
неравенством
<(<0).
Критическую точку находят, исходя из
требования, чтобы при справедливости
нулевой гипотезы вероятность того, что
критерий примет значение, меньшее,
была равна принятому уровню значимости:
Р(<)=.

Двусторонняя
критическая область определяется
неравенствами
Критические
точки находят, исходя из требования,
чтобы при справедливости нулевой
гипотезы сумма вероятностей того, что
критерий примет значение, меньшееили большее,
была равна принятому уровню значимости:

.
(*)

Ясно, что критические
точки могут быть выбраны бесчисленным
множеством способов. Если же распределение
критерия симметрично относительно нуля
и имеются основания (например, для
увеличения мощности) выбрать симметричные
относительно нуля точки (-
)и(>0),
то

Учитывая (*), получим
.

Это соотношение
и служит для отыскания критических
точек двусторонней критической области.
Критические точки находят по соответствующим
таблицам.

Дополнительные
сведения о выборе критической области.
Мощность критерия

Мы строили
критическую область, исходя из требования,
чтобы вероятность попадания в неё
критерия была равна
при условии, что нулевая гипотеза
справедлива. Оказывается целесообразным
ввести в рассмотрение вероятность
попадания критерия в критическую область
при условии, что нулевая гипотеза неверна
и, следовательно, справедлива конкурирующая.

Мощностью критерия
называют вероятность попадания критерия
в критическую область при условии, что
справедлива конкурирующая гипотеза.
Другими словами, мощность критерия есть
вероятность того, что нулевая гипотеза
будет отвергнута, если верна конкурирующая
гипотеза.

Пусть для проверки
гипотезы принят определённый уровень
значимости и выборка имеет фиксированный
объём. Остаётся произвол в выборе
критической области. Покажем, что её
целесообразно построить так, чтобы
мощность критерия была максимальной.
Предварительно убедимся, что если
вероятность ошибки второго рода (принять
неправильную гипотезу) равна
,
то мощность равна 1-.
Действительно, если— вероятность ошибки второго рода, т.е.
события «принята нулевая гипотеза,
причём справедливо конкурирующая», то
мощность критерия равна 1 —.

Пусть мощность 1
—
возрастает; следовательно, уменьшается
вероятностьсовершить ошибку второго рода. Таким
образом, чем мощность больше, тем
вероятность ошибки второго рода меньше.

Итак, если уровень
значимости уже выбран, то критическую
область следует строить так, чтобы
мощность критерия была максимальной.
Выполнение этого требования должно
обеспечить минимальную ошибку второго
рода, что, конечно, желательно.

Замечание 1.
Поскольку вероятность события «ошибка
второго рода допущена» равна
,
то вероятность противоположного события
«ошибка второго рода не допущена» равна
1 —,
т.е. мощности критерия. Отсюда следует,
что мощность критерия есть вероятность
того, что не будет допущена ошибка
второго рода.

Замечание 2. Ясно,
что чем меньше вероятности ошибок
первого и второго рода, тем критическая
область «лучше». Однако при заданном
объёме выборки уменьшить одновременно
иневозможно; если уменьшить,
тобудет возрастать. Например, если принять=0,
то будут приниматься все гипотезы, в
том числе и неправильные, т.е. возрастает
вероятностьошибки второго рода.

Как же выбрать
наиболее целесообразно? Ответ на этот
вопрос зависит от «тяжести последствий»
ошибок для каждой конкретной задачи.
Например, если ошибка первого рода
повлечёт большие потери, а второго рода
– малые, то следует принять возможно
меньшее.

Если
уже выбрано, то, пользуясь теоремой Ю.
Неймана и Э.Пирсона, можно построить
критическую область, для которойбудет минимальным и, следовательно,
мощность критерия максимальной.

Замечание 3.
Единственный способ одновременного
уменьшения вероятностей ошибок первого
и второго рода состоит в увеличении
объёма выборок.

Соседние файлы в папке Лекции 2 семестр

• #
• #
• #
• #



5.3. Ошибки первого и второго рода

Ошибка первого рода состоит в том, что гипотеза  будет отвергнута, хотя на самом деле она правильная. Вероятность

допустить такую ошибку называют уровнем значимости и обозначают буквой  («альфа»).  

Ошибка второго рода состоит в том, что гипотеза  будет принята, но на самом деле она неправильная. Вероятность

совершить эту ошибку обозначают буквой  («бета»). Значение  называют мощностью критерия – это вероятность отвержения неправильной

гипотезы.

В практических задачах, как правило, задают уровень значимости, наиболее часто выбирают значения .

И тут возникает мысль, что чем меньше «альфа», тем вроде бы лучше. Но это только вроде: при уменьшении

вероятности —

отвергнуть правильную гипотезу растёт вероятность  — принять неверную гипотезу (при прочих равных условиях).

Поэтому перед исследователем стоит задача грамотно подобрать соотношение вероятностей  и , при этом учитывается тяжесть последствий, которые

повлекут за собой та и другая ошибки.

Понятие ошибок 1-го и 2-го рода используется не только в статистике, и для лучшего понимания я приведу пару

нестатистических примеров.

Петя зарегистрировался в почтовике. По умолчанию,  – он считается добропорядочным пользователем. Так считает антиспам

фильтр. И вот Петя отправляет письмо. В большинстве случаев всё произойдёт, как должно произойти – нормальное письмо дойдёт до

адресата (правильное принятие нулевой гипотезы), а спамное – попадёт в спам (правильное отвержение). Однако фильтр может

совершить ошибку двух типов:

1) с вероятностью  ошибочно отклонить нулевую гипотезу (счесть нормальное письмо

за спам и Петю за спаммера) или
2) с вероятностью  ошибочно принять нулевую гипотезу (хотя Петя редиска).

Какая ошибка более «тяжелая»? Петино письмо может быть ОЧЕНЬ важным для адресата, и поэтому при настройке фильтра

целесообразно уменьшить уровень значимости , «пожертвовав» вероятностью  (увеличив её). В результате в основной ящик будут попадать все

«подозрительные» письма, в том числе особо талантливых спаммеров. …Такое и почитать даже можно, ведь сделано с любовью

Существует примеры, где наоборот – более тяжкие последствия влечёт ошибка 2-го рода, и вероятность  следует увеличить (в пользу уменьшения

вероятности ). Не хотел я

приводить подобные примеры, и даже отшутился на сайте, но по какой-то мистике через пару месяцев сам столкнулся с непростой

дилеммой. Видимо, таки, надо рассказать:

У человека появилась серьёзная болячка. В медицинской практике её принято лечить (основное «нулевое» решение). Лечение

достаточно эффективно, однако не гарантирует результата и более того опасно (иногда приводит к серьёзному пожизненному

увечью). С другой стороны, если не лечить, то возможны осложнения и долговременные функциональные нарушения.

Вопрос: что делать? И ответ не так-то прост – в разных ситуациях разные люди могут принять разные

решения (упаси вас).

Если болезнь не особо «мешает жить», то более тяжёлые последствия повлечёт ошибка 2-го рода – когда человек соглашается

на лечение, но получает фатальный результат (принимает, как оказалось, неверное «нулевое» решение). Если же…, нет, пожалуй,

достаточно, возвращаемся к теме:

5.4. Процесс проверки статистической гипотезы

5.2. Нулевая и альтернативная гипотезы

| Оглавление |



Содержание:

Проверка статистических гипотез:

Статистической гипотезой называется гипотеза, которая относится к виду функции распределения, к параметрам функции распределения, к числовым характеристикам случайной величины и т.д., и которую можно проверить на основе опытных данных. Например, предположение о том, что отклонение истинного размера детали от расчетного имеет нормальный закон распределения, является статистической гипотезой. Предположение о наличии жизни на Марсе статистической гипотезой не является, так как оно не выражает какого-либо утверждения о законе распределения или иных характеристиках случайной величины.

Пример статистической гипотезы

Рассмотрим упрощенный пример. Пусть выдвинута гипотеза о том, что плотность вероятности

Есть возможность произвести только одно наблюдение. В этом случае выборочным пространством служит числовая ось. Из рис. 3.6.1 видно, что значения случайной величины из отрезка имеют относительно большую плотность вероятности и попадание наблюдаемого значения в этот отрезок не противоречит гипотезе. Напротив, значения вне этого отрезка в соответствии с гипотезой маловероятны, и реализация одного из этих значений говорит не в пользу гипотезы. В этом упрощенном примере важно следующее: выборочное пространство мы разбили на две части. Одну из них, точки вне отрезка , обозначим через и назовем критической областью. Если наблюдение попадает в , то гипотезу отвергаем, а если не попадет, то будем считать гипотезу не противоречащей опытным данным или правдоподобной.

В случае выборки объема по тому же принципу разбивают выборочное пространство на две части. Одну их них, выборки самые маловероятные при данной гипотезе, обозначают через и называют критической областью. В случае попадания выборки в критическую область гипотезу отвергают. В противном случае признают гипотезу не противоречащей опытным данным. Если говорить о проверке гипотез с точки зрения статистических решающих функций, то, приписав каждой выборке определенное решение, принять или отвергнуть гипотезу, мы тем самым разбиваем выборочное пространство на две части: область принятия гипотезы и критическую область.

Статистическим критерием называют правило, указывающее, когда статистическую гипотезу следует принять, а когда отвергнуть. Построение статистического критерия сводится к выбору в выборочном пространстве критической области , при попадании выборки в которую гипотеза отвергается. Обычно в критическую область включают самые маловероятные при данной гипотезе выборки.

Даже при верной гипотезе наблюдения могут сложиться неблагоприятно, в итоге выборка может попасть в критическую область и гипотеза будет отвергнута. Вероятность такого исхода мала, так как к критической области отнесены самые маловероятные при данной гипотезе выборки. Вероятность можно рассматривать как вероятность ошибки, когда гипотеза отвергается. Эту вероятность называют уровнем значимости критерия. Критерии для проверки гипотезы о законе распределения случайной величины обычно называют критериями согласия.

Статистический критерий в описанном виде может быть сложным, и трудно будет установить, принадлежит ли выборка критической области или нет. Поэтому предпочитают на выборочном пространстве задать некоторую функцию, которая каждой выборке ставит в соответствие определенное число. Значения функции, которые соответствуют критической области, естественно считать критическими значениями. Проверка гипотезы тогда сводится к вычислению по выборке значения этой функции и проверке, является ли оно критическим. Есть функции, не зависящие от вида проверяемой гипотезы. Одна из таких функций дает знаменитый критерий «хи-квадрат».

Критерий согласия «хи-квадрат»

Пусть выдвинута гипотеза о законе распределения случайной величины X. Требуется проверить, насколько эта гипотеза правдоподобна. Для этого разобьем множество возможных значений случайной величины на разрядов  Для непрерывной случайной величины роль разрядов играют интервалы значений, для дискретной – отдельные возможные значения или группы таких значений. В соответствии с выдвинутой гипотезой каждому разряду соответствует определенная вероятность

Например, если выдвинута гипотеза, что случайная величина X имеет функцию распределения а в качестве выбраны интервалы то

Нужно проверить, согласуется ли наша гипотеза с опытными данными.

Идея проверки гипотезы состоит в сравнении теоретических вероятностей разрядов (3.6.1) с фактически наблюдаемыми частотами попадания в эти разряды. Для этого производится независимых наблюдений случайной величины и определяется число попаданий в каждый из разрядов. Пусть в й разряд попало наблюдений. Если гипотеза верна и каждому разряду действительно соответствует вероятность (3.6.1), то при большом числе наблюдений в силу закона больших чисел частоты будут приблизительно равны теоретическим вероятностям Тогда величина

где – некоторые коэффициенты, должна быть малой.

Если же гипотеза ложная, то при больших частоты разрядов будут близки к вероятностям, отличным от и величина (3.6.2) будет относительно большой. Значит, по величине (3.6.2) можно судить о том, насколько гипотеза согласуется с опытными данными. Критическую область составят те выборки, для которых эта величина велика.

Английский статистик К. Пирсон (1900 г.) показал, что при выборе коэффициентов   случайная величина

имеет распределение, которое не зависит от выдвинутой гипотезы и определяется функцией плотности вероятности

где – число, называемое числом степеней свободы. Число равно разности между числом разрядов и числом связей, наложенных на величины . Связью называется всякое соотношение, в которое входят величины .

При данной гипотезе и фиксированном числе наблюдений величина зависит от Каждому соответствует свое слагаемое, но не все могут изменяться свободно, так как они связаны соотношением  Значит, величина вместе с величинами однозначно определяют величину которая поэтому свободно меняться не может. Число степеней свободы соответствует числу свободно меняющихся величин . На могут быть наложены и другие связи. Если всего связей то независимо меняющихся величин будет . Связь налагается всегда. Другие связи могут возникнуть, например, если при выдвижении гипотезы с помощью величин оцениваются параметры предполагаемого закона распределения. Чем больше , тем сильнее график вытянут вдоль горизонтальной оси (рис. 3.6.2).

Составлены специальные таблицы (см. прил., табл. П4), в которых для любого и заданной вероятности указаны такие значения что

На рис. 3.6.2 заштрихованная площадь равна . Вероятность можно понимать, как вероятность того, что в силу чисто случайных причин, за счет наблюдения тех, а не других значений случайной величины, мера расхождения между гипотезой и результатами наблюдений будет больше или равна Эти вероятности можно использовать для проверки гипотезы о законе распределения случайной величины следующим образом.

Предположим, что гипотеза верна. Выберем вероятность настолько малой, чтобы ее можно было считать вероятностью практически невозможного события. Для выбранного  и числа степеней свободы из таблицы распределения величины находим Если гипотеза верна, то значения являются практически невозможными, их следует отнести к критической области.

Итак, построена критическая область: . В предположении, что гипотеза верна, на основе опытных данных вычисляется . Обозначим это вычисленное значение через  Если , то произошло событие, которое практически невозможно при верной гипотезе. Это дает повод в гипотезе усомниться и объяснить такое большое значение неудачным выбором гипотезы, поскольку расхождения между и случайными признать нельзя. При  гипотеза отвергается.

Если же окажется, что  то расхождение между гипотезой и опытными данными можно объяснить случайностями выборки. В этом случае можно заключить, что гипотеза не противоречит опытным данным, или что гипотеза правдоподобна. Это, конечно, не означает, что гипотеза верна. Скромность вывода в последнем случае можно объяснить тем, что согласующиеся с гипотезой факты гипотезы не доказывают, а делают ее лишь правдоподобной. В то же время всего один факт, противоречащий гипотезе, ее отвергает.

Замечание 1. Хотя и маловероятно, чтобы при верной гипотезе превзошло уровень но это все-таки может случиться и верная гипотеза будет отвергнута. Вероятность такого события равна и ее можно рассматривать как вероятность ошибки, как вероятность отвергнуть гипотезу, когда она верна. Напомним, что вероятность ошибки, когда гипотеза отвергается, называют уровнем значимости критерия. Не следует думать, что чем меньше уровень значимости, тем лучше. При слишком малых критерий ведет себя перестраховочно и бракует гипотезу только при кричаще больших значениях

Замечание 2. Каждый разряд вносит в величину вклад, равный где – среднее число попаданий в данный разряд, если гипотеза верна. При малых значениях велика роль каждого отдельного наблюдения. Например, если в этот разряд попало одно 205 наблюдение, то вклад в этого разряда равен При этот вклад будет равен всего лишь В итоге при малом от попадания или непопадания в этот разряд наблюдаемого значения существенно зависит окончательный вывод. Чтобы снизить роль отдельных наблюдений, обычно рекомендуется сделать разбивку на разряды так, чтобы все были достаточно большими. На практике это сводится к требованию иметь в каждом разряде не менее пяти – десяти наблюдений. Для этого разряды, содержащие мало наблюдений, рекомендуется объединять с соседними разрядами.

Пример №1

Были исследованы 200 изготовленных деталей на отклонение истинного размера от расчетного. Сгруппированные данные исследований приведены в виде статистического ряда: 

Требуется по данному статистическому ряду построить гистограмму. По виду гистограммы выдвинуть гипотезу о типе закона распределения отклонений. Подобрать параметры закона распределения (равные их оценкам на основе опытных данных). Построить на том же графике функцию плотности вероятности, соответствующую выдвинутой гипотезе. С помощью критерия согласия проверить согласуется ли выдвинутая гипотеза с опытными данными. Уровень значимости взять, например, равным 0,05.

Решение. Для того чтобы получить представление о виде закона распределения изучаемой величины, построим гистограмму. Для этого над каждым интервалом построим прямоугольник, площадь которого численно равна частоте попадания в интервал (рис. 3.6.3).

По виду гистограммы можно выдвинуть предположение о том, что исследуемая случайная величина имеет нормальный закон распределения. Параметры нормального закона (математическое ожидание и дисперсию) оценим на основе опытных данных, считая в качестве представителя каждого интервала его середину:

Итак, выдвинем гипотезу, что исследуемая случайная величина имеет нормальный закон распределения т.е. имеет функцию плотности вероятности

График удобно строить с помощью таблицы функции (см. прил., табл. П1):

Например, точка максимума и точки перегиба имеют ординаты соответственно

График функции  приведен на рис. 3.6.3.

Вычислим меру расхождения между выдвинутой гипотезой и опытными данными, т.е. величину . Для этого сначала вычислим вероятности, приходящиеся на каждый интервал в соответствии с гипотезой:

Аналогично: 

Вычисление удобно вести, оформляя запись в виде таблицы. 

Итак, мера расхождения между гипотезой и опытными данными равна

Построим критическую область для уровня значимости Число степеней свободы для равно двум. Так как число интервалов равно пяти, а на величины наложены три связи:  В итоге Для заданного уровня значимости и числа степеней свободы находим из таблицы распределения (см. прил., табл. П4) критическое значение

Критическая область для проверки гипотезы имеет вид Значение в критическую область не входит. Вывод: гипотеза опытным данным не противоречит. Меру расхождения можно объяснить случайностями выборки.

Ответ. Гипотеза опытным данным не противоречит.

Пример №2

В виде статистического ряда приведены сгруппированные данные о времени безотказной работы 400 приборов.

Согласуются ли эти данные с предположением, что время безотказной работы прибора имеет функцию распределения ? Уровень значимости взять, например, равным 0,02.

Решение. Вычислим вероятности, приходящиеся в соответствии с гипотезой на интервалы:

Вычислим .

Число степеней свободы равно трем, так как на четыре величины наложена только одна связь Для трех степеней свободы и уровня значимости находим из таблицы распределения «хи-квадрат» (см. прил., табл. П4) критическое значение Значение входит в критическую область. Вывод: гипотеза противоречит опытным данным. Гипотезу отвергаем и вероятность того, что мы при этом ошибаемся, равна 0,02.

Ответ. Гипотеза опытным данным противоречит.

Пример №3

Монету подбросили 50 раз. Герб выпал 32 раза. С помощью критерия «хи-квадрат» проверить, согласуются ли эти результаты с предположением, что подбрасывали симметричную монету.

Решение. Выдвинем гипотезу, что монета была симметричной. Это означает, что вероятность выпадения герба при каждом броске равна 1/2. В описанном опыте герб выпал 32 раза и 18 раз выпала цифра. Вычисляем

Число степеней свободы для равно так как слагаемых два, а связь на величины наложена одна: Для числа степеней свободы и уровня значимости, например, равного находим из таблицы распределения «хи-квадрат» (см. прил., табл. П4), что Это означает, что при уровне значимости критическую область для величины составляют значения Вычисленное значение попадает в критическую область, гипотеза отвергается. Вероятность того, что мы при таком выводе ошибаемся, равна 0,05.

Ответ. Предположение о симметричности монеты не согласуется с опытными данными.

Пример №4

Для каждого из 100 телевизоров регистрировалось число выходов из строя в течение гарантийного срока. Результаты представлены в виде статистического ряда:

Согласуются ли эти данные с предположением о том, что число выходов из строя имеет пуассоновский закон распределения?

Решение. Если случайная величина Х – число выходов из строя телевизора, имеет пуассоновский закон распределения, то

где параметр неизвестен.

Оценим параметр из опытных данных. В законе распределения Пуассона параметр равен математическому ожиданию случайной величины. Оценкой математического ожидания служит среднее арифметическое:

Итак, выдвигаем гипотезу, что изучаемая случайная величина имеет закон распределения

Для проверки выдвинутой гипотезы зададим уровень значимости, например, равный 0,02. Последние три разряда, содержащие мало наблюдений, можно объединить. В итоге имеем три разряда и число степеней свободы равно так как на величины наложены две связи: Из таблицы распределения «хи-квадрат» (см. прил., табл. П4) для заданного и числа степеней свободы находим, что критическая область имеет вид

Вычислим теперь . В соответствии с выдвинутой гипотезой разряды имеют вероятности:

Вычисление произведем, фиксируя промежуточные результаты в таблице.

Вычисленное значение в критическую область не входит. Вывод: гипотеза о пуассоновском законе распределения изучаемой случайной величины опытным данным не противоречит.

Ответ. Гипотеза не противоречит опытным данным.

Пример №5

В течение пяти рабочих дней недели на контактный телефон фирмы поступило соответственно 69, 50, 59, 75, 47 звонков. Можно ли считать при уровне значимости  что интенсивность звонков не зависит от дня недели?

Решение. Сначала построим критическую область. Общее количество звонков равно 300. Число степеней свободы равно , так как разрядов пять, а связей одна По таблице распределения «хи- квадрат» находим для что критическое значение Итак, критическая область имеет вид

Выдвинем гипотезу, что интенсивность звонков не зависит от дня недели, т.е. с вероятностью 1/5 каждый вызов может поступить в любой рабочий день недели.

В предположении, что гипотеза верна, вычислим значение . Вычисление удобно оформить в виде таблицы.

Сумма элементов последнего столбца дает Вывод: гипотеза опытным данным не противоречит.

Ответ. Гипотеза опытным данным не противоречит.

Проверка гипотезы о независимости двух случайных величин

Постановка задачи. Можно ли по результатам наблюдений двух случайных величин сделать вывод об их зависимости или независимости. В приложениях эта задача имеет следующую постановку. Пусть каждый элемент генеральной совокупности обладает двумя признаками A и B, признак A имеет градации (или уровни) признак B различается по уровням Возникает вопрос, связаны ли друг с другом эти признаки?

Естественно считать, что A и B независимы, если при выборе любого элемента генеральной совокупности независимы события «признак A принимает значение » и «признак B принимает значение » при всех и . Формально это означает, что

 

для всех и . Проверить непосредственно выполнение соотношения (3.6.4) нет возможности, так как значения входящих в него вероятностей неизвестны.

Пусть у взятых наугад членов генеральной совокупности определены величины признаков A и B. По этим результатам можно найти – число наблюдений пары значений признаков и . Тогда общее число наблюдений значений признака равно

Аналогично, число наблюдений признака равно

Обычно результаты наблюдений оформляют в виде таблицы, которую называют таблицей сопряженности признаков.

Таблица сопряженности признаков:

Введем обозначения для вероятностей. Положим

Необходимо проверить гипотезу для всех пар 

Если наблюдений много (хотя бы несколько десятков), то по теореме Бернулли

Критерий основан на сравнении наблюдаемых чисел появления комбинаций признаков с числами появлений, которые должны были бы быть, если бы признаки были независимы и не подвергались различным случайностям.

Поскольку вероятность наступления двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий, то за оценку вероятности совместного появления событий и можно принять произведение (обе эти дроби – оценки соответствующих вероятностей). Тогда теоретическое число наблюдений пары и должно быть равным

Эту величину можно назвать теоретическим числом появлений пары и . При верной гипотезе величины не должны значительно отличаться от О степени расхождения между ними можно судить по величине

Если гипотеза о независимости верна, то при величина имеет распределение «хи-квадрат» с степенями свободы. Число степеней свободы определяется из следующих соображений. Всего слагаемых   На них накладываются связи. Прежде всего,

Определяя мы воспользовались равенствами (3.6.5), но в силу   фактически независимых слагаемых будет Из тех же соображений в равенствах (3.6.6) только слагаемое является независимым. Поэтому число степеней свободы

В таблице распределения по заданному уровню значимости и числу степеней свободы находим такое, что Критическая область для проверки гипотезы имеет вид Остается вычислить фактическое значение . Если оно попадает в критическую область, то гипотеза отвергается, при этом вероятность ошибочности этого вывода равна . Если вычисленное значение не входит в критическую область, то гипотеза опытным данным не противоречит.

Пример №6

Данные о сдаче экзамена 246 студентами сгруппированы в зависимости от места окончания студентом средней школы.

Можно ли по этим данным заключить, что успеваемость студентов практически не зависит от места получения ими среднего образования? (Уровень значимости взять, например, равным 0,05.)

Решение. Предположим, что успеваемость студентов не зависит от места получения среднего образования (это гипотеза, которую предстоит проверить). Число степеней свободы равно Для уровня значимости и числа степеней свободы из таблицы распределения «хи-квадрат» (см. прил., табл. П4) находим критическое значение Критическую область составляют значения . Вычислим фактическое значение по формуле (3.6.7):

Вычисленное значение т.е. не является критическим. Расхождения в данных по успеваемости можно объяснить случайными факторами (случайный отбор студентов, случайности при выборе билета на экзамене и т.д.).

Ответ. Предположение о независимости успеваемости студентов от места получения ими среднего образования не противоречит опытным данным.

Проверка параметрических гипотез

Критерий для проверки гипотезы формируют за счет отнесения к критической области выборок, которые при данной гипотезе наименее вероятны. Но может оказаться, что одинаково маловероятных выборок при данной гипотезе больше, чем это необходимо для формирования критерия данного уровня значимости. Тогда трудно решить какие именно выборки следует включать в критическую область. Этих трудностей можно избежать, если вместе с проверяемой гипотезой рассматривать и альтернативные гипотезы.

Пусть случайная величина Х имеет функцию распределения тип которой известен. Значение параметра неизвестно, но для определено множество допустимых значений Обычно гипотеза об истинном значении параметра сводится к утверждению, что принадлежит некоторому множеству Например, в качестве w может быть названо одно из допустимых значений.

Определение. Параметрической статистической гипотезой называется утверждение, что против альтернативы что

Гипотезу называют нулевой гипотезой и считают, что она истинна, если действительно При нулевую гипотезу называют ложной.

Гипотеза, однозначно определяющая вероятностное распределение, называется простой. В противном случае гипотезу называют сложной. Например, гипотеза о симметричности и однородности игрального кубика проста, так как однозначно определяет вероятности всех исходов при подбрасывании кубика. Гипотеза о том, что ошибка измерений имеет нормальный закон распределения, является сложной, так как при разных значениях параметров получаются разные нормальные законы распределения.

Простая параметрическая гипотеза против простой альтернативы может быть описана указанием одной точки в и одной точки в

Параметрическую гипотезу проверяют по обычной схеме. Производят наблюдений случайной величины, в результате которых получают некоторые результаты В выборочном пространстве формируется критическая область при попадании выборки в которую гипотеза отвергается. Но выбор критической области при наличии альтернативной гипотезы имеет свои особенности.

При любом критерии проверки статистической гипотезы по результатам наблюдений возможны ошибки двух типов: ошибка первого рода возникает при отклонении гипотезы , когда она верна, а ошибка второго рода совершается, если принимается ложная гипотеза .

Обозначим через вероятность того, что выборка попадет в критическую область, если значение параметра равно . Эта вероятность как функция параметра называется функцией мощности критерия . При каждом эта функция показывает с какой вероятностью статистический критерий отклоняет гипотезу, если на самом деле Х имеет функцию распределения

Заметим, что при равна вероятности ошибки первого рода. Величина при равна вероятности ошибки второго рода. Это вероятность непопадания в критическую область, т.е. вероятность принятия гипотезы : , когда эта гипотеза ложная.

Разным критериям для проверки гипотезы против альтернативы сопутствуют разные вероятности . Естественно желание сделать обе эти вероятности минимально возможными. Но обычно уменьшение одной из них влечет увеличение другой. Необходимо компромиссное решение, которое достигается следующим образом. Выбирают вероятность практически невозможного события в качестве уровня значимости . Это и есть вероятность ошибки первого рода. Критическую область формируют так, чтобы при заданном уровне значимости , вероятность ошибки второго рода была как можно меньше.

Учет ошибок первого и второго рода позволяет сравнивать между собой критерии. Пусть – два критерия для проверки гипотезы против альтернативы , имеющие одинаковые уровни значимости . Если при этом

и

то критерий называют более мощным, чем . Из определения видно, что имеет большую вероятность отвергнуть ложную гипотезу при одинаковой с вероятности ошибки первого рода. Если мощнее любого другого критерия, имеющего уровень значимости a, то называют наиболее мощным критерием.

Пусть необходимо проверить гипотезу против альтернативы . Для определенности рассмотрим непрерывную случайную величину Х с функцией плотности вероятности где параметр неизвестен. Если наблюдения независимы, то выборочная точка  будучи многомерной случайной величиной, имеет функцию плотности вероятности

Согласно сформулированным требованиям относительно ошибок первого и второго рода, критическую область следует выбрать так, чтобы при заданном вероятность

и при этом вероятность

 

была наибольшей.

Такую задачу впервые решили в начале тридцатых годов прошлого века Ю. Нейман и Э. Пирсон, и полученный ими результат носит их имя. Для формулировки этого результата понадобится понятие взаимной абсолютной непрерывности функций, которое состоит в том, что в каждой точке функции или обе равны нулю, или обе нулю не равны.

Лемма Неймана–Пирсона

Если и взаимно абсолютно непрерывны, то для любого  можно указать  что точки выборочного пространства, в которых

образуют критическую область для которой При этом будет наиболее мощным критерием для проверки гипотезы против альтернативы

Замечание. Для дискретных величин в неравенстве (3.6.8) роль играет вероятность именно тех результатов наблюдений, которые получены, т.е

Пример №7

Известно, что при тщательном перемешивании теста изюмины распределяются в нем примерно по закону Пуассона, т.е. вероятность наличия в булочке изюмин равна приблизительно где – среднее число изюмин, приходящихся на булочку. При выпечке булочек полагается по стандарту на 1000 булочек 9000 изюмин. Имеется подозрение, что в тесто засыпали изюмин меньше, чем полагается по стандарту. Для проверки выбирается одна булочка и пересчитываются изюмины в ней.

Построить критерий для проверки гипотезы о том, что против альтернативы  Вероятность ошибки первого рода взять приблизительно 0,02.

Решение. Для проверки гипотезы против альтернативыпо лемме Неймана–Пирсона в критическую область следует включить те значения , для которых

где С – некоторая постоянная.

Тогда  Логарифмирование этого неравенства приводит к неравенству . Так как  то 

Итак, в критическую область следует включить значения где значение зависит от ошибки первого рода. При по формуле Пуассона получаем вероятности:

 

Отсюда следует, что если включить в критическую область значения для числа изюмин то вероятность ошибки первого рода будет равна Итак, если изюмин в булке окажется три или меньше гипотезу следует отвергнуть в пользу ее альтернативы.

Заметим, что при добавлении в критическую область значения вероятность ошибки первого рода останется достаточно малой

Ответ.

Пример №8

Изготовитель утверждает, что в данной большой партии изделий только 10% изделий низкого сорта. Было отобрано наугад пять изделий и среди них оказалось три изделия низкого сорта. С помощью леммы Неймана–Пирсона построить критерий и проверить гипотезу о том, что процент изделий низкого сорта действительно равен 10 против альтернативы, что процент низкосортных изделий больше 10 Вероятность ошибки первого рода выбрать 0,01. Какова вероятность ошибки второго рода, если ?

Решение. Согласно проверяемой гипотезе при альтернативном значении 1 По лемме Неймана–Пирсона в критическую область следует включить те значения k, для которых

 

где С – некоторая постоянная.

После сокращения на неравенство приводится к виду

Прологарифмируем обе части неравенства

или

Так как  то выражение в скобке неотрицательно. Поэтому 

Значит, в критическую область следует включить те из значений которые больше некоторого зависящего от уровня значимости (от вероятности ошибки первого рода). Для определения в предположении, что гипотеза верна, вычисляем вероятности: 

Если к критической области отнести значения то вероятность ошибки первого рода будет равна

В условиях задачи оказалось, что среди пяти проверенных три изделия бракованных. Значение входит в критическую область. Гипотезу отвергаем в пользу альтернативы. Вероятность того, что мы это делаем ошибочно, меньше 0,01.

Вероятностью ошибки второго рода называется вероятность принять ложную гипотезу. Гипотеза будет принята при Если вероятность изготовления бракованного изделия на самом деле равна то вероятность принять ложную гипотезу равна 

Вероятность ошибки второго рода велика потому, что критерий построен на скудном статистическом материале (всего пять наблюдений!).

Ответ. При уровне значимости 0,01 нулевую гипотезу отвергаем.

Пример №9

Количество первосортных изделий в крупной партии не должно быть менее 90%. Для проверки выбрали наугад 100 изделий. Среди них оказалось только 87 изделий первого сорта. Можно ли считать при вероятности ошибки первого рода, равной 0,05, что в данной партии менее 90 % первосортных изделий?

Решение. Построим критическую область для проверки гипотезы против альтернативы и посмотрим, попадает ли значение 87 в критическую область. Из леммы Неймана–Пирсона следует (см. рассуждения в примере 3.19 только с учетом неравенства ), что существует такое , что меньшее или равное k0 число первосортных изделий следует отнести к критической области. Так как независимых опытов проделано много (), то можно воспользоваться интегральной теоремой Муавра–Лапласа, согласно которой

Откуда, с учетом нечетности функции Лапласа, имеем  или  Из таблицы функции Лапласа (см. прил., табл. П2) 227 находим, что  Поэтому и Так как – целое число, то 0 k = 85. Итак, критическую область для проверки нулевой гипотезы составляют значения Число 87 в критическую область не попадает. Нет оснований сомневаться в том, что в данной партии не менее 90% первосортных изделий.

Ответ. Наличие в выборке менее 90% первосортных изделий можно объяснить случайностями выборки.

Пример №10

Случайная величина Х имеет нормальный закон распределения причем значение дисперсии известно. Получены – результаты независимых наблюдений случайной величины. Построить критерий для проверки гипотезы против альтернативы полагая вероятность ошибки первого рода

Решение. Так как наблюдения независимы, то -мерная случайная величина имеет плотность вероятности, равную произведению плотностей вероятности своих компонент: 

Поэтому по лемме Неймана–Пирсона к критической области должны быть отнесены те выборки, для которых

После логарифмирования неравенства получаем

откуда 

Так как по условию  то

 

Итак, в критическую область следует включать выборки, для которых   Свяжем значение  с величиной ошибки первого рода. Так как нормальный закон устойчив, то сумма имеет тоже нормальный закон распределения Если гипотеза верна, то значение С3 можно найти из условия

Отсюда  Это означает, что аргумент функции Лапласа отрицателен. В силу нечетности функции Лапласа имеем По таблице функции Лапласа находим, что Поэтому Значит, Итак, если сумма окажется меньше величины то гипотезу следует отвергнуть в пользу альтернативной гипотезы

Ответ. 

Проверка гипотезы о значении медианы

Пусть Х непрерывная случайная величина, а m – значение ее медианы, т.е. Проделано n независимых наблюдений над случайной величиной. Можно ли считать по их результатам что значение медианы равно m₀ против альтернативы, что значение медианы равно m₁ (для определенности пусть )?

Предположим, что значение m действительно равно m₀ (т.е. верна нулевая гипотеза ) и рассмотрим последовательность величин

Если гипотеза верна, то Подсчитаем число положительных разностей в нашей выборке и обозначим его через S.

Величину S можно представить в виде при и при Заметим, что случайная величина принимает два значения 0 и 1 с вероятностями каждое, если гипотеза верна. Поэтому при верной нулевой гипотезе величина S имеет биномиальное распределение:

Очевидно, что при медиане равной вероятность   В итоге задача сводится к проверке гипотезы против альтернативы

Согласно лемме Неймана–Пирсона для любого существует такая постоянная величина С > 0 , что значения k, для которых

образуют критическую область наиболее мощного критерия. Так же как и в примере 3.19 легко показать, что в критическую область следует относить в первую очередь самые маленькие значения k. Остается только найти наибольшее k, для которого , где – вероятность ошибки первого рода.

Пример №11

По результатам независимых наблюдений случайной величины исследователь в отношении медианы m отверг гипотезу и принял альтернативную гипотезу Какова вероятность ошибки первого рода при таком выводе?

Решение. Ошибка первого рода совершается, когда отвергается верная гипотеза. Предположим, что нулевая гипотеза верна и медиана m действительно равна 3,5. Только в трех наблюдениях результаты превосходят 3,5. Как было показано выше, при альтернативе в критическую область следует включать в первую очередь малые значения k. Значение k = 3 было отнесено исследователем к критической области. В предположении, что гипотеза верна имеем

Откуда  .

Ответ. 

Проверка гипотезы о равенстве математических ожиданий

Пусть над случайной величиной X проделано n независимых наблюдений, в которых получены результаты а над величиной Y проделано m независимых наблюдений и получены значения Предположим, что известны дисперсии но неизвестны математические ожидания Пусть, кроме того, каждая серия состоит из достаточно большого числа наблюдений (хотя бы несколько десятков в каждой серии). Построим критерий для проверки по результатам наблюдений гипотезы о том, что

Предположим, что гипотеза верна. Так как серии опытов достаточно велики, то для средних арифметических имеем приближенные равенстваЕсли гипотеза верна, то и величина должна быть относительно малой. Напротив, большие значения этой величины плохо согласуются с гипотезой. Поэтому критическую область составят те серии наблюдений, для которых где С – некоторая постоянная величина.

Свяжем эту постоянную C с уровнем значимости Согласно центральной предельной теореме каждая из величин распределена приблизительно нормально, как сумма большого числа одинаково распределенных независимых случайных величин с ограниченными дисперсиями. С учетом того, что можно утверждать, что имеет распределение a – распределение Из факта устойчивости нормального закона распределения можно заключить, что при верной гипотезе тоже имеет нормальный закон распределения с параметрами  и 

Запишем для нормального закона распределения стандартную формулу (????):

или 

По заданному из таблицы функции Лапласа (см. прил., табл. П2) найдем такое чтобы или Тогда при правая часть равенства (3.6.9) будет равна . Поэтому при уровне значимости критическую область для проверки гипотезы о равенстве двух математических ожиданий составят те серии наблюдений, для которых

Замечание 1. Если дисперсии неизвестны, то большое число наблюдений в каждой серии позволяет достаточно точно оценить дисперсии по этим же опытным данным:

Пример №12

Среднее арифметическое результатов 25 независимых измерений некоторой постоянной величины равно 90,1. В другой серии из 20 независимых измерений получено среднее арифметическое, равное 89,5. Дисперсия ошибок измерения в обоих случаях одинакова и равна   Можно ли считать, что измерялась одна и та же постоянная величина?

Решение. Выдвигаем гипотезу, что в каждой из серий измерялась одна и та же постоянная величина. Зададимся, например, уровнем значимости По таблице значений функции Лапласа (см. прил., табл. П2) находим, что

Тогда критическая область для проверки гипотезы определяется неравенством Так как в нашем случае то сомневаться в том, что измерялась одна и та же постоянная величина, оснований нет. Расхождения в значениях средних арифметических можно объяснить ошибками измерений.

Ответ. Предположение о равенстве математических ожиданий не противоречит опытным данным.

Пример №13

По двум независимым выборкам объемов  = 10 и  = 15, извлеченным из нормальных генеральных совокупностей X и Y, найдены оценки дисперсий:  При уровне значимости α = 0,05 проверить гипотезу  D(X)=D(Y) при конкурирующей гипотезе  D(X)>D(Y).
 

Решение. 1) По данным выборки вычисляем

2) По табл. П 2.7 (см. приложение 2), учитывая значения 

находим число:   

3) Сравниваем: так как 1,99 < 2,65, т.е. , то нет основания отвергать гипотезу
Ответ: гипотеза  : D(X)=D(Y) принимается.

Пример №14

По двум независимым выборкам объемов =10 и =15, извлеченным из нормальных генеральных совокупностей X и Y, найдены оценки дисперсий:  При уровне значимости α = 0,1 проверить гипотезу  D(X)=D(Y) при конкурирующей гипотезе  D(X)≠D(Y).
 

Решение. 1) По данным выборки вычисляем

2) По табл. П 2.7 (см. приложение 1), учитывая значения 

находим число:   

3) Сравниваем: так как 1,99 < 2,65, т.е.  , то нет основания отвергать гипотезу .

Ответ: гипотеза H0 : D(X)=D(Y) принимается.

Пример №15

По трем независимым выборкам объемов  = 10 и  = 15 и  = 20, извлеченным из нормальных генеральных совокупностей X, Y и  Z найдены оценки дисперсий:  При уровне значимости α = 0,05 проверить гипотезу  : D(X)=D(Y)=D(Z).
 

Решение. 1) По данным выборок вычисляем: 

2) По табл.  П 2.5 (см. приложение 2), учитывая значения 

находим число

3) Сравниваем: так как 2,06 < 6,0 , т.е.  , следовательно нет основания отвергать нулевую гипотезу.
Ответ: гипотезу  : D(X) = D(Y) =D(Z)  принимают.

Пример №16

По двум независимым выборкам объемов =10 и =16, извлеченным из нормальных генеральных совокупностей X и Y, найдены оценки математических ожиданий  и исправленные выборочные дисперсии  . Проверить нулевую гипотезу:    :
M(X) = M(Y) при конкурирующей гипотезе   : M(X) ≠ M(Y) и уровне значимости α = 0,01.
 

Решение  1) Так как  то предварительно проверим гипотезу  D(X)=D(Y) о равенстве генеральных дисперсий при конкурирующей гипотезе : D(X)>D(Y). Для этого поступаем по аналогии с решением 1 задачи.

а) По данным выборки вычисляем

б) По табл. П 2.7 (см. приложение 2), учитывая значения 

находим число:

в) Сравниваем: так как 1,44 < 3,89, т.е.   , то гипотеза о равенстве генеральных дисперсий принимается, то есть различие между    = 0,62 и = 0,43 считаем незначительным.

2) Проверим гипотезу   :  M(X) = M(Y) о равенстве средних при конкурирующей гипотезе

а) Найдем по табл.  П 2.6 (см. приложение 2) значение  по заданному α = 0,01 и числу k = 10 + 16 – 2 = 24 :

б) Найдем число

в) Сравнить числа   так как  и гипотеза   :  M(X) = M(Y) о равенстве средних принимается.
Ответ: гипотеза    :  M(X) = M(Y) принимается.

Пример №17

По двум независимым выборкам объемов =10 и =16, извлеченным из нормальных генеральных совокупностей X и Y, с дисперсиями  вычислены оценки математических ожиданий  
При уровне значимости α = 0,05 проверить гипотезу   : M(X) = M(Y)  и конкурирующей гипотезе  : M(X) ≠ M(Y).
 

Решение. Воспользуемся замечанием 6. 1) Вычислим:

2) Находим  из уравнения

используя табл. П 2.2 (см. приложение 2).
Следовательно,

3) Сравниваем: так как 2,19 > 1,96, т.е.  , то гипотезу  отвергают.
Значит, различие генеральных математических ожиданий значительное.
Ответ: гипотеза    :  M(X) = M(Y) отвергается, т.е. M(X) ≠ M(Y).

Определение статистической гипотезы

Определение: Статистической гипотезой называется гипотеза о виде неизвестного распределения или о параметрах известного распределения. Выдвинутую гипотезу называется основной (нулевой) и обозначается Противоречащую ей называется конкурирующей (альтернативной) и обозначается 

Гипотеза называется простой, если она содержит только одно предположение. Сложная гипотеза состоит из простых.

 -ошибка первого рода (вероятность отвергнуть правильную гипотезу).

 -ошибка второго рода (вероятность принять неверную нулевую гипотезу). При увеличении  возрастает и  И наоборот. Единственный способ одновременного уменьшения  — увеличение количества испытаний. Величина  носит название мощности критерия.

Статистический критерий проверки основной гипотезы Н0

Статистический критерий проверки основной гипотезы

 Определение. Для проверки основной гипотезы  используют специально подобранную случайную величину, точное или приближенное распределение которое известно. Эта случайная величина называется статистическим критерием или просто критерием  

Определение. Областью принятия гипотезы  называется совокупность значений критерия, при которых гипотезу принимают. Критической областью называется совокупность значений критерия, при которых нулевую гипотезу отвергают. Точки, отделяющие область принятия гипотезы от критической области, называется критическими точками. Критическая область может быть:

Выбор одного из этих случаев определяется видом конкурирующей гипотезы.

Основные шаги при проверке статистических гипотез:

1) выдвигаем 

2) выдвигаем 

3) задаем  — уровень значимости

4) строим статистический критерий

5) строим критическую область

6) считаем наблюдаемое значение критерия и сравниваем с критическими точками

7) если наблюдаемое значение попадает в область принятия гипотезы, то нет причины отвергать  если наблюдаемое значение попадает в критическую область, то  отвергается на заданном уровне значимости 

Проверка гипотезы о виде распределения случайной величины. Критерий согласия Пирсона

Пусть — генеральная совокупность (случайная величина) с неизвестной функцией распределения 

— выборка (результаты измерений;  

1)  выборка сделана из генеральной совокупности  с функцией распределения 

2)  функция распределения  отлична от 

3) задаем  — уровень значимости

4) строим статистический критерий

Разобьем область, которой принадлежат результаты измерений, на промежутков  одинаковой длины

Пусть

 — количество значений  из числа наблюдаемых, которые принадлежат 

 — вероятность того, что значения  принадлежат промежутку вычисленная в предположении справедливости нулевой гипотезы; 

 — относительная частота попадания значений  из числа наблюдаемых  промежуток 

Тогда

 — эмпирическая функция распределения.

За меру отклонения истинной функции распределения  от эмпирической  возьмем следующую случайную величину 

Теорема Пирсона:

Какова бы ни была  при  распределение величины  стремится к распределению хи-квадрат с  степенями свободы.

Замечание. Если в процессе проверки гипотезы приходится производить оценку параметров распределения, то количество степеней свободы  уменьшается на количество неизвестных параметров.

 -статистический критерий для проверки нулевой гипотезы

5)    строим критическую область

Критическая область — правосторонняя

 квантиль распределения хи-квадрат с  степенями свободы.

6) считаем наблюдаемое значение критерия  и сравниваем его с критическим 

7) Вывод: если  то нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу на выбранном уровне значимости  в противном случае  отвергается на заданном уровне значимости 

Пример №18

По выборке объема  проверить гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности.

В качестве параметров нормального распределения выберем их точечные оценки: 
1)  генеральная совокупность  имеет нормальное распределение с параметрами 
2)  распределение  отлично от 
3) 
4) строим статистический критерий

Замечание: если для какого-либо интервала не выполняется условие  то этот интервал объединяется с соседним интервалом.

1,384 — наблюдаемое значение статистического критерия 
5) строим критическую область

 квантиль распределения хи-квадрат с  степенями свободы порядка 1-

 число неизвестных параметров распределения, которые пришлось оценивать. 

7) Вывод: нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу на уровне значимости 

Критерий Колмогорова — Смирнова

в классическом виде является более мощным, чем критерий Пирсона; используется для проверки гипотезы о соответствии эмпирического любому теоретическому непрерывному распределению  с заранее известными параметрами: применим для негруппированных данных или для группированных в случае малой ширины интервала. 

_ выборка (результаты измерений; 

1)  выборка сделана из генеральной совокупности  с функцией распределения 

2)  функция распределения  отлична от 

3)  — уровень значимости

4)    строим статистический критерий

 — статистика критерия Колмогорова

5)    строим критическую область

Критическая область — правосторонняя; критические значения   составляют: 

6) сравниваем наблюдаемое значение критерия  с критическим 

7) Вывод: если  то нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу на выбранном уровне значимости  в противном случае  отвергается на заданном уровне значимости 

Проверка гипотез о параметрах известного распределения генеральной совокупности

Проверка гипотез о параметрах нормально распределенной генеральной совокупности 

  — выборка

Пример №19

На завод поступила партия станков. По результатам исследования 13 станков найдена исправленная выборочная дисперсия размера изготовления станками деталей  Требуется ли дополнительная наладка станка, если допустимая характеристика рассеяния контролируемого размера деталей  -уровень значимости)

Решение:

 нет основания отвергнуть  на уровне значимости 0,01, следовательно подналадка не нужна.

Проверка гипотез о параметре  биномиального распределения.

(сравнение относительной частоты с гипотетической вероятностью  появления события в отдельном испытании)

 выборка;

В электронных таблицах Excel для проверки гипотез о параметрах нормально распределенных генеральных совокупностей по результатам экспериментов есть специальные тесты, упрощающие процедуру вычислений.

Двухвыборочный -тест для средних служит для проверки гипотезы о различии между средними математическими ожиданиями двух нормальных распределений с известными дисперсиями.

Двухвыборочный -тест с одинаковыми (различными) дисперсиями используется для проверки гипотезы о равенстве средних двух нормально распределенных генеральных совокупностей.

Парный двухвыборочный -тест используется для проверки гипотезы о равенстве средних в том случае, если обе выборки сделаны из одной и той же генеральной совокупности (например, в разные моменты времени, до и после какого-либо воздействия).

Двухвыборочный   — тест для дисперсий служит для проверки гипотез о равенстве дисперсий двух нормальных распределений.

Пример №20

На предприятии провели выборочный опрос работающих об их средней заработной плате за предыдущий год. Данные опроса представлены в табл. 1.

С  помощью  критерия  Пирсона  проверить  гипотезу  о  том,  что средняя заработная  плата  по  всему  предприятию  распределена  по нормальному закону с уровнем значимости 
 

Решение. Найдем функцию распределения признака    в генеральной совокупности,  применяя  формулу 
Для  этого  предварительно  вычислим  среднюю  выборочную  и  исправленную статическую дисперсию  

За функцию распределения признака    в генеральной совокупности принимается 

Выполним разбиение области значений случайной величины  на  интервалы  таким  образом, чтобы частоты были больше или равны 5. Разбиение представлено в табл. 2.

Для расчета теоретического ряда частот необходимо предварительно вычислить значения вероятностей  по формуле

и применить формулу для вычисления теоретических частот:

где — 

Например.

Значение функции  вычисляется по табл. П2 (часть 1) значений функции Лапласа. Результаты вычислений представим в табл. 3.

Значения  вычислим по формуле 

Так как два параметра распределения признака в генеральной совокупности находились на основании выборки, то функцию  можно приближенно считать распределенной по закону  степенями свободы (здесь число интервалов  поскольку оценивались два параметра закона распределения). При уровне значимости  границей критической области будет  (по табл. П5). Так как  то гипотеза  о нормальном распределении генеральной совокупности принимается.

Следует отметить, что на практике все шире начинают применять критерии согласия не столько для проверки согласия экспериментальных данных с некоторой гипотетической функцией, сколько для подбора наилучшей функции распределения, хотя выбор подходящего закона должен основываться прежде всего на понимании механизма изучаемого явления.

Пример №21

Наблюдалось следующее распределение по минутам числа появлений на остановке автобуса, имеющего пятиминутный интервал движения.

Проверить гипотезу о равномерном законе распределения.

Решение. 1. Вычисляем по данному вариационному ряду вероятности  попадания  в интервал по формуле

2. Для проверки гипотезы о том, что число появлений автобуса на остановке есть случайная величина, распределенная по равномерному закону, вычисляем критерии  для чего составим таблицу.

Контроль:  Вычисления произведены правильно.

3. Определяем  по заданному уровню значимости  и числу степеней свободы  то есть 

4.Так как  то нет оснований отклонить гипотезу о равномерном распределении  на отрезке [0; 5].

Пример №22

Рассмотрим вариационный ряд.

1. Если построить гистограмму частостей, то ее вид будет напоминать экспоненциальную кривую. Поэтому произведем «выравнивание» статистических данных по показательному закону. Запишем его дифференциальную функцию:

Для нахождения точечной оценки параметра  вначале вычислим заменив каждый интервал его серединой:

Тогда  Следовательно, дифференциальная функции предполагаемого показательного закона распределения имеет вид 

2. Для проверки соответствия эмпирических данных с предполагаемым показательным законом распределения применим критерий согласия 

3. Вычислим вероятности попадания случайной величины  в частичные интервалы  по формуле

Для нахождения  построим вспомогательную таблицу.

4. Найдем в таблице критических точек  распределения по уровню значимости  и числу степеней свободы критическое значение 

5. Так как  то нет оснований для отклонения гипотезы об экспоненциальном законе распределения.

Пример №23

Из продукции цеха случайно отобрано 200 выборок по 5 деталей. Регистрировалось число бракованных деталей. В итоге получен вариационный ряд:

Требуется, используя критерий Пирсона при уровне значимости  проверить гипотезу о том, что дискретная случайная величина  (число бракованных деталей) распределена по биноминальному закону.

1. Найдем частость  и применим ее в качестве оценки вероятности того, что наудачу взятая деталь окажется бракованной.

По формуле Бернулли  найдем вероятности  того, что интересующее нас событие появится в  испытаниях ровно  раз.

2. Для проверки нулевой гипотезы выдвигаем критерий 

где  — число групп выборки, оставшихся после объединения.

3. Вычисляем  При составлении расчетной таблицы для сравнения эмпирических и теоретических частот с помощью критерия Пирсона мы объединим эмпирические частоты  После объединения число групп выборки 

4. Находим  один параметр (вероятность  оценивался по выборке, то есть  поэтому при определении числа степеней свободы

 значит, нет основании отклонить нулевую гипотезу о биноминальном законе распределения.

Пример №24

Проведено наблюдение за числом вызовов телефонной станции. С этой целью в течение 100 случайно выбранных 5-секундных интервалов времени регистрировалось число вызовов. Получен следующий вариационный ряд:

Проверить, используя критерий  гипотезу о том, что распределение числа вызовов согласуется с законом Пуассона. Уровень значимости принять 

Вероятность ровно  вызовов в течение  случайно выбранных отрезков времени вычисляется по формуле Пуассона:

1. Найдем точечную оценку параметра  генеральной совокупности:

Таким образом, функция вероятностей предполагаемого закона Пуассона имеет вид 

2.Применим критерии 

3. Находим  Для этого все необходимые вычисления приводим в табл. 7.

Контроль:  Вычисления произведены верно.

4. По таблице П5 по заданному уровню значимости и числу степеней свободы  найдем 

5. Так как  то нет оснований для отклонения гипотезы о том, что закон распределения числа вызовов на телефонной станции является законом Пуассона.

Итак, мы рассмотрели критерий  при помощи которого проверяли гипотезу о согласии данных выборки с конкретным теоретическим законом распределения для любой случайной величины как непрерывной, так и дискретной.

Пример №25

Менеджер кредитного отдела нефтяной компании выясняет, является ли среднемесячный баланс владельцев кредитных карточек, равным 75 у.е. Аудитор случайным образом отобрал 100 счетов и нашел, что среднемесячный баланс владельцев составил 83,4 у.е. с выборочным стандартным отклонением, равным 23,65 у.е. Определить на 5%-м уровне значимости, может ли этот аудитор утверждать, что средний баланс отличен от 75 у.е.

Решение. 1. Исходя из условия задачи, сформулируем гипотезы: 

 — неизвестно. Уровень значимости 

2. Для проверки гипотезы  применим критерий

с двусторонней критической областью.

3. Вычислим 

5. Так как  то нулевая гипотеза отклоняется. Значит, среднемесячный баланс владельцев карточек отличен от 75 у.е.

Пример №26

По двум независимым выборкам, объемы которых извлеченным из нормальных генеральных совокупностей, найдены выборочные средние:  генеральные дисперсии известны:  Требуется при уровне значимости  проверить нулевую гипотезу  при конкурирующей гипотезе: 

Решение. Найдем наблюдаемое значение критерия:

По условию конкурирующая гипотеза имеет вид  поэтому критическая область — двусторонняя.

Найдем правую критическую точку из равенства

По таблице П2, часть 1, функции Лапласа находим  Так как  то нулевую гипотезу отвергаем, т. е. выборочные средние различаются значимо.

Пример №27

Менеджер предприятия решил выяснить, существует ли разница в производительности труда рабочих дневной и вечерней смены. Случайно организованная выборка 10 рабочих дневной смены показала, что средний выпуск продукции составил 74,3 ед./ч, а выборочная дисперсия оказалась равной  Выборка же 10 рабочих вечерней смены выявила, что средний выпуск продукции равнялся  На 1%-м уровне значимости  определить, существует ли разница в производительности труда рабочих вечерней и дневной смены.

Решение. Так как выборочные дисперсии различны, проверим предварительно нулевую гипотезу  равенстве генеральных дисперсий, пользуясь критерием Фишера-Снедекора

Найдем отношение большей исправленной дисперсии к меньшей:  Дисперсия 20 больше дисперсии 17,8; дисперсия 18 больше дисперсии 16. Поэтому в качестве альтернативной примем гипотезу  В этом случае критическая область правосторонняя. По таблице П7 критических точек распределения Фишера-Снедекора по уровню значимости  и числам степеней свободы  находим

Так как  — нет оснований отклонить нулевую гипотезу о равенстве генеральных дисперсий, поскольку предположение о равенстве генеральных дисперсий выполняется, сравним средние. Итак:

 (так как  — имеем правостороннюю критическую область.

2. В качестве критерия проверки нулевой гипотезы примем случайную величину 

4. Находим  по таблице П6 критических точек распределения Стьюдента 

Так как  то нет оснований отклонить гипотезу  т. е.

не существует разницы в производительности труда рабочих дневной и вечерней смены, а имеющие место различия случайны, незначимы.

Пример №28

Из двух партий изделий, изготовленных на двух одинаково настроенных станках, извлечены малые выборки, объемы которых  Получены следующие результаты:

 Требуется при уровне значимости  проверить гипотезу  при альтернативной гипотезе  Предполагается, что случайные величины распределены нормально.

Решение. Рассматриваемый в этом параграфе критерий предполагает, что генеральные дисперсии одинаковы, но исправленные дисперсии различны, поэтому вначале нужно сравнить дисперсии, используя критерий Фишера-Сиедекора. Сделаем это, приняв в качестве альтернативной гипотезы  Найдем наблюдаемое значение критерия:  Пo таблице П7 критических точек распределения Фишера-Снедекора находим  Так как  — дисперсии различаются незначимо и, следовательно, можно считать, что допущение о равенстве генеральных дисперсий выполняется.

Сравним средние, для чего вычислим наблюдаемое значение критерия Стьюдента:

По условию, альтернативная гипотеза имеет вид  поэтому критическая область двусторонняя. По уровню значимости  и числу степеней свободы  находим по таблице критических точек распределения Стьюдента критическую точку 

Так как  — нет оснований отвергнуть гипотезу о равенстве средних.

Таким образом, средние размеры изделий существенно не различаются.

Ошибки первого и второго рода. Понятие о статистических критериях

Проверить статистическую гипотезу – значит проверить, согласуются ли данные, полученные из выборки с этой гипотезой. При этом проверяемая гипотеза может подтвердиться, а может и не подтвердиться. Проверка статистических гипотез сопряжена с возможностью допустить ошибку.

Ошибка первого рода состоит в том, что будет отвергнута верная гипотеза.

Ошибка второго рода состоит в том, что будет принята ложная гипотеза.

Вероятность совершения ошибки первого рода обозначается и называется уровнем значимости. Уровень значимости обычно задается близким к нулю (например, 0,05; 0,01; 0,02 и т.д.). Чем меньше уровень значимости , тем меньше вероятность отвергнуть проверяемую гипотезу когда она верна, т.е. совершить ошибку первого рода.

Вероятность не отклонить ложную гипотезу обозначается .

При проверке нулевой гипотезы могут возникнуть следующие ситуации (табл.):

	верная	ложная
отклоняется	Ошибка второго рода	Решение верное
не отклоняется	Решение верное	Ошибка второго рода

Проверка любой статистической гипотезы осуществляется с помощью статистического критерия.

Статистический критерий – это случайная величина [статистика], которая используется с целью проверки нулевой гипотезы.

В дальнейшем статистический критерий непараметрических гипотез будем обозначать, как правило, буквой .

Статистические критерии носят название соответственно распределению: критерий, — критерий, t-критерий и т.д.

Наблюдаемое значение статистического критерия – это значение критерия, которое рассчитано по выборке с определенным законом распределения.

Множество всех возможных значений выбранного статистического критерия разделяется на два непересекающихся подмножества. Первое из этих подмножеств включает в себя значения критерия, при которых нулевая гипотеза отвергается, а второе – те значения критерия, при которых нулевая гипотеза принимается.

Критическая область – это множество возможных значений статистического критерия, при которых нулевая гипотеза отвергается.

Область принятия гипотезы [область допустимых значений] – это множество возможных значений статистического критерия, при которых нулевая гипотеза принимается.

В том случае, если наблюдаемое значение статистического критерия (рассчитанное по выборочной совокупности) принадлежит критической области, нулевую гипотезу отвергают. Если же наблюдаемое значение статистического критерия принадлежит области принятия гипотезы, то нулевая гипотеза принимается.

Критические точки [квантили] – это точки, которые разграничивают критическую область и область принятия гипотезы.

Выделяют одностороннюю и двустороннюю критические области. Дадим определения данных критических областей на примере условного статистического критерия .

Правосторонняя критическая область определяется неравенством , где это положительное значение статистического критерия, определяемое по таблице распределения данного критерия.

Левосторонняя критическая область определяется неравенством , где — это отрицательное значение статистического критерия. определяемое по таблице распределения данного критерия.

Двусторонняя критическая область определяется неравенствами , , где — отрицательное значение и