Расчет статической ошибки сау

Расчеты статической ошибки εСт регулирования

Входной сигнал x(t)=X=constи изображением его является.
В соответствии с (1.56) статическую ошибкуε_СТследует вычислять по
формуле

(1.57)

1). Пусть в (1.57) значение порядка νастатизма САУ равно нулю:ν=0. Такая
САУ называется статической. Тогда
статическая ошибкаε_СТбудет равна

В статической САУ имеется статическая
ошибка ε_СТ, которую можно
только уменьшить путем увеличения
общего коэффициента усиленияКразомкнутой САУ, но обратить в ноль ее
нельзя.

2). Пусть в (1.57) значение порядка νастатизма САУ равно 1:ν=1. Такая САУ
называется астатической 1-го порядка.
Тогда статическая ошибкаε_СТбудет равна

В астатической САУ 1-го порядка статическая
ошибка ε_СТравна нулю,
т.е САУ является абсолютно точной. Можно
проверить, что при астатизме САУ выше1, статическая ошибка регулирования
всегда будет нулевой.

Расчеты скоростной ошибки εСт регулирования

Входной сигнал x(t)=Vtи изображением его является.
В соответствии с (1.56) скоростную ошибкуε_СКследует вычислять по
формуле

(1.58)

1). Пусть в (1.58) значение порядка νастатизма САУ равно нулю:ν=0. Такая
САУ называется статической. Тогда
скоростная ошибкаε_СКбудет равна

В статической САУ скоростная ошибка
ε_СКбесконечно большая
и, поэтому, такая САУ неработоспособна.

2). Пусть в (1.58) значение порядка νастатизма САУ равно 1:ν=1. Такая САУ
называется астатической 1-го порядка.
Тогда скоростная ошибкаε_СКбудет равна

В астатической САУ 1-го порядка имеется
скоростная ошибка ε_СК,
которую можно только уменьшить путем
увеличения общего коэффициента усиленияКразомкнутой САУ, но обратить в
ноль ее нельзя.

3). Пусть в (1.58) значение порядка νастатизма САУ равно 2:ν=2. Такая САУ
называется астатической 2-го порядка.
Тогда скоростная ошибкаε_СКбудет равна

В астатической САУ 2-го порядка скоростная
ошибка ε_СКравна нулю,
т.е САУ является абсолютно точной.

Выводы по расчетам статической и скоростной ошибок регулирования:

1. Ошибки регулирования могут быть
уменьшены путем увеличения общего
коэффициента усиления Ки порядка
астатизмаνразомкнутой САУ.

2. При увеличении Кошибки регулирования
только уменьшаются. но не обращаются в
ноль.

3. При увеличении νСАУ становится
абсолютно точной — ошибка регулирования
становится нулевой.

Косвенные
показатели качества САУ и их связь с
прямыми показателями качества.
Использование ЛАЧХ для оценки качества
САУ

Невозможность получения формул для
расчета динамических показателей
качества (рис.1.42), а также требования
задач синтеза САУ, обусловило разработки
комплексных показателей качества.
Косвенные показатели качества, в
большинстве своем, являются частотными,
которые определяются из ЧХ, АЧХ, ФЧХ и
ЛАЧХ. Косвенные показатели качества
должны удовлетворять следующим
требованиям:

1. Косвенные показатели должны просто
вычисляться или определяться из частотных
характеристик разомкнутой САУ.

2. Погрешность определения значений
прямых показателей качества через
значения косвенных показателей качества
должна быть мала.

3. Косвенные показатели должны быть
приспособлены для эффективного решения
задач синтеза САУ.

4.
Косвенные показатели должны давать
возможность просто анализировать
влияние параметров настроек регуляторов
САУ и характеристик любых других звеньев
САУ на прямые показатели качества.

Косвенных показателей качества или их
наборов разработано достаточно много.
Каждый косвенный показатель качества
или их набор вводятся для эффективного
решения конкретных типов задач
автоматического управления и, поэтому,
универсальных косвенных показателей
качества не существует в принципе. По
сути, косвенные показатели упрощают
анализ и синтез САУ, но прямые показатели
качества определяются через косвенные
всегда неточно.

Прежде всего рассмотрим набор косвенных
показателей качества, полученных из
построений Найквиста (см. тему 1.12):
частоту среза ω_СРи запас
по фазеγ. Частота срезаω_СРпросто определяется из ЛАЧХ (рис.1.41).
Запас по фазеγрассчитывается по
выражению ФЧХφ(ω) только при
одном значении частотыω_СР:γ=φ(ω_СР ).

Основой применения косвенных показателей
качества — частоты среза ω_СРи запаса по фазеγ— являются
графические зависимости (рис.14.1) между
косвенными и прямыми показателями
качества — перерегулированиемσ,
временем первой установкиt₁и временем переходного процессаt_ПП.

По оси ординат отложены значения
перерегулирования σ, в процентах
от установившегося значенияh_ycm(рис.1.42). По оси временt₁иt_ППзаписаны
формулы, по которым рассчитываютсяt₁иt_ППв
зависимости от частоты срезаω_СР.
Если из частотных характеристик
определены значения запаса по фазеγи частоты срезаω_СР, то по
графикам можно определить значения
перерегулированияσ, времени первой
установкиt₁и времени переходного процессаt_ПП.
Например, пусть заданы значенияγ=30^оиω_СР=1,5 с^-1.
Тогда, согласно приведенным на рис.1.44
построениям, получим:

σ=19 %,

Найденные значения σ,t₁иt_ППне
являются точными. Этот факт, отражен на
рис.1.44 как «размытость» графиков.

По этим значениям σ,t₁иt_ППможно
построить примерный график переходного
процесса (рис.1.45). Как принято, косвенные
показатели качества выбираются такими,
чтобы найденные с их помощью оценки
прямых показателей качества имели бы
погрешность не более 10 %. Это вполне
приемлемо в инженерной практике.

Графические зависимости между косвенными
γиω_СРи прямымиσ,t₁иt_ППпоказателями качества САУ, приведенные
на рис.1.44, можно описать в виде следующих
зависимостей пропорционального типа

Важная в практике эксплуатации САУ
задача определения влияния типовых
законов регулирования (пропорционального,
интегрального и дифференциального) на
прямые показатели качества чрезвычайно
эффективно решается с помощью введенных
косвенных показателей γиω_СР.

Частотный
метод синтеза следящей САУ (см. тему
1.23) основан на использовании косвенного
показателя качества – показателя
колебательностиМ. Показателем
колебательностиМназывается
величина, численно равная максимуму
нормированной АЧХ (рис.1.46). По значению
показателя колебательностиМможно
оценить величину перерегулированияσ(рис.1.47).

Значение показателя колебательности
Мможет быть найдено графически,
без вычислений АЧХ, при использовании
только годографа частотной характеристикиW_раз(p)и, соответственно, ЛАЧХ разомкнутой
САУ. Именно такие построения положены
в основу расчета среднечастотного
участка желаемой ЛАЧХ при упомянутом
выше частотном синтезе следящей САУ.

Требования

САУ рулевого устройства.

привод должен обеспечивать перекладку
от -35˚ до +30˚ за 28с.

При полном ходе в течение 1 часа привод
должен обеспечить 350 перекладок.

Посты управления должны снабжаться
аксиометрами с точностью до 1º в ДП и
1,5º при α = ± 5º. При больших углах ± 2,5º

Требования к СЭЭС:

А) статические требования:

Ошибка регулирования частоты- менее 5%

Ошибка регулирования напряжения – от
-10 до +6%

Неравномерность распределения нагрузки
параллельно работающих генераторов :
не более 10% от мощности наибольшего
генератора или не более 25% от мощности
наименьшего генератора. Из двух вариантов
или выбирается меньший.

Б) динамические показатели

Заброс/провал частоты – не более 10% в
течение 5сек

Заброс/провал напряжения – не более
20% в течение 1,5сек

Требования ДАУ ГД

1. Регулятор
   частоты должен быть всережимным,
   допустимая регулировка частоты в
   пределах от 40 до 115%

2. Не
   должно быть временной задержки между
   перемещением рукоятки на мостике и
   началом разворота лопастей и частоты
   вращения дизеля

3. Точность
   поддержания частоты не хуже 1,5%

4. Должно
   быть реализовано несколько постов
   управления ГД и ВРШ, а именно с разных
   постов, при наборе и сбросе хода, при
   реверсе, при управлении ВГ, когда он
   включен в судовую сеть

5. Пуск
   реверсивной характеристики ГД должны
   быть соизмеримы с квалифицированным
   ручным управлением

1. Перечислите
   типовые позиционные, интегрирующие и
   дифференцирующие звенья САУ и приведите
   их примеры из судовых систем автоматики.
   Укажите передаточные функции и
   переходные характеристики этих звеньев.

Виды типовых позиционных звеньев:

1. Безинерционное (пропорциональное)
звеноимеет передаточную функцию и
описывается алгебраическим уравнением,
соответственно, вида W(p)=k, y=kx

Примерами безинерционных звеньев служат
рычажная передача (рис.1.10а),
потенциометрический датчик перемещения
(рис.1.10б).

В этих звеньях выходной сигнал уповторяет без задержки по форме входной
сигналх.

Выражение переходного процесса y=kx

2. Апериодическое (инерционное) звено
1-го порядка имеет передаточную функцию
и описывается уравнением вида

где k, Т — коэффициент
передачи и постоянная времени звена.

Примерами этого звена служат интегрирующая
RC—цепь (рис.1.11а),
‘электродвигатель, обмотки которого
разогреваются во время работы (рис.1.11б).

Выполним вывод передаточной функции
для RC—цепи. Используя
закон Ома, получим

Переходный процесс описывается
выражением

где вместо x=1(t),
как должно быть для переходного процесса,
принято фактическое значение сигналаx, благодаря чему
рассчитывается реакция звена на скачок
произвольной величины.

График переходного процесса приведён
на рис.1.11в. Установившееся значение
y_уст, равноеkx, достигается на
бесконечности:t.
Время переходного процессаt_пп,
определяемое по моменту окончательного
вхождения графика в 5% зону допуска оту_уст, составляет3T.
Звено обладаетсамовыравниванием.
Свойство самовыравнивания состоит в
том, что звено самостоятельно без
применения дополнительного регулирования
приходит к постоянному по величине
установившемуся значению.

3.
Инерционное звено 2-го порядкаимеет
передаточную функцию

Особенность звена в том, что его
характеристическое уравнение имеет
действительные корни.

Примерами этого звена служит RLC-цепь
(рис.1.13а) при большом сопротивленииRрезистора,
электропривод, приводящий во вращение
нагрузку с большим моментом инерцииJ(рис.6.4б).

Переходный процесс описывается выражением

где с₁ и с₂
— постоянные интегрирования.

График
переходного процесса (рис.1.14а) имеет
точку перегиба. Время переходного
процессаt_ппможно определить только графически.

4. Колебательное звеноимеет
передаточную функцию

где T— период свободных
(незатухающих) колебаний;

ξ— параметр затухания,
принимающий значения0<ξ<1.

Особенность звена в том, что его
характеристическое уравнение имеет
комплексно сопряженные корни.

Примерами этого звена служит RLC-цепь
(рис.1.13а) при малом сопротивленииRрезистора,
электропривод, приводящий во вращение
нагрузку с малым моментом инерцииJ(рис.1.13б). Переходный процесс описывается
выражением

где
— резонансная частота с учётом затухания
колебаний.

График переходного процесса приведён
на рис.1.14б. Чем меньше значение параметра
ξ, тем медленнее
затухает переходный процесс. Время
переходного процесса можно определить
только графически.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Лекция 17. Расчет установившейся ошибки в системах управления.
Структурные признаки астатизма

Установившейся (статической) ошибкой называют
постоянное значение сигнала ошибки x(t)=g(t)-y(t),
которое она приобретает по окончании переходного процесса: , рисунок 116.

Очевидно, установившаяся ошибка зависит от законов
изменения и численных характеристик входных сигналов системы. Поэтому при ее
определении принято рассматривать так называемые типовые входные сигналы,
законы изменения которых составляют степенной ряд относительно времени.
Например, для задающего воздействия:

,  ,   и так
далее.

При наличии нескольких воздействий на линейную систему
для определения x_уст используется
принцип суперпозиции – реакция линейной системы на совокупность входных
сигналов совпадает с алгебраической суммой ее реакций на каждый из сигналов в
отдельности:

, где
каждое слагаемое, или составляющая сигнала ошибки, определяется
для i-го входного сигнала при условии, что остальные
тождественно равны нулю. Такой подход полностью соответствует определению
передаточной функции и позволяет выполнять расчет установившейся ошибки на
основе структурной схемы системы.

Рассмотрим порядок расчета установившейся ошибки на
следующем достаточно общем примере (рисунок 117).

В соответствии с принципом суперпозиции установившаяся
ошибка будет определяться здесь в виде суммы трех составляющих .

Изображение по Лапласу ошибки от задающего воздействия
получают через передаточную функцию замкнутой системы по ошибке  при известном изображении задающего
воздействия G(s):

, где
F(s) – основная передаточная функция замкнутой системы.
Для структурной схемы на рисунке 117

, где  — передаточная функция
разомкнутой системы, или прямой цепи системы, для рассматриваемого примера.

Непосредственно для расчета
установившегося значения ошибки от задающего воздействия используют теорему о
конечном значении для преобразования Лапласа:

В результате:

.

Изображение по Лапласу ошибки от возмущающего
воздействия получают через передаточную функцию замкнутой системы по ошибке от
возмущения  при известном изображении возмущающего
воздействия F(s):

, где
F_f(s) –передаточная функция замкнутой системы по
возмущающему воздействию,

;

W_f(s)
– передаточная функция разомкнутой системы по возмущению (передаточная функция
участка прямой цепи системы от точки приложения возмущающего воздействия до
выхода системы).

Для структурной схемы на рисунке 8 необходимо
учитывать два возмущающих воздействия, приложенные в различные точки системы.

Для f₁:                             
,

,

.

Для f₂:                                
,

,

.

Расчет упрощается для
системы с единичной отрицательной обратной связью (рисунок 118):

,

, где k=k₁k₂k₃ – коэффициент передачи
разомкнутой системы.

Найдем установившуюся ошибку
для некоторых типовых вариантов задающего воздействия.

При  получим:

.

При  получим:

.

При  получим:

.

Если установившаяся ошибка
тождественно равна нулю при каком-либо типовом варианте входного сигнала,
независимо от его численных характеристик, систему называют астатической по
рассматриваемому входному сигналу.

Количество типовых вариантов
входного сигнала – членов степенного ряда, при которых установившаяся ошибка
тождественно равна нулю, определяет порядок астатизма.

Рассматриваемая система
обладает свойством астатизма второго порядка по задающему воздействию.

Рассмотрим установившуюся
ошибку от возмущения f₁:

,

, где  –
коэффициент передачи разомкнутой системы по возмущению f₁.

При  получим:

.

При  получим:

.

При  получим
тот же результат.

Отметим, что по возмущению f₁ рассматриваемая система
не является астатической. Кроме того, она не в состоянии отработать два последних
варианта входного сигнала.

Рассмотрим установившуюся
ошибку от возмущения f₂:

,

, где  –
коэффициент передачи разомкнутой системы по возмущению f₂.

При  получим:

.

При  получим:

.

При  получим:

.

По возмущению f₂ рассматриваемая система имеет
астатизм первого порядка. Она не в состоянии отработать возмущающее
воздействие, изменяющееся во времени с постоянным ускорением.

Подведем некоторые итоги:

1. Наличие и глубина
свойства астатизма зависят от точки приложения входного сигнала.

2. Постоянные времени
звеньев системы не влияют на ее точность.

3. Увеличение значения
коэффициента передачи разомкнутой системы приводит к снижению величины
установившейся ошибки.

Для систем с единичной
отрицательной обратной связью существуют достаточно простые структурные
признаки астатизма.

Рассмотрим структуру,
показанную на рисунке 119.

В общем случае передаточная
функция разомкнутой системы может быть представлена в следующей форме:

, где l³0.

Тогда получим:

и для общего вида задающего воздействия , которому соответствует изображение ,

.

Результат нахождения этого
предела зависит от соотношения показателей степени:

— при l>v установившаяся
ошибка равна нулю независимо от остальных параметров, то есть имеет место
астатизм;

— при l=v получаем
константу;

— при l<v установившаяся
ошибка стремится к бесконечности, то есть система не в состоянии отработать
входной сигнал.

Учитывая, что минимальное
значение v нулевое,
получаем условие астатизма по задающему воздействию: l>0.

Таким образом, структурный
признак астатизма по задающему воздействию в системе с единичной отрицательной
обратной связью состоит в наличии нулевых корней в знаменателе передаточной
функции разомкнутой системы, или интегрирующих звеньев в прямой цепи системы.

Нетрудно также убедиться,
что положительное значение l совпадает
с порядком астатизма.

Для получения признака
астатизма по возмущающему воздействию представим передаточные функции на
рисунке 10 в форме:

,

, где l₁+l₂=l,
k₁k₂=k, m₁+m₂=m,
n₁+n₂=n,
причем  и .

Тогда получим:

и для общего вида возмущающего воздействия , которому соответствует изображение ,

.

Все вышеприведенные выводы
можно повторить для показателя степени l₁.

Таким образом, структурный
признак астатизма по возмущающему воздействию в системе с единичной
отрицательной обратной связью состоит в наличии нулевых корней в знаменателе
передаточной функции участка системы до точки приложения воздействия, или
интегрирующих звеньев на том же участке.

Характеристическое уравнение замкнутой САУ

ЗАДАНИЯ НА КОНТРОЛЬНУЮ РАБОТУ

1. Исследовать одноконтурную САУ при заданных передаточных функциях составляющих ее элементов.

Рис. 1.1 Структура одноконтурной САУ

регулятора, исполнительного механизма, объекта регулирования, датчика соответственно.

φ, φ₃, φ_g — заданное, действительное и измеренное значения регулируемой величины соответственно;

λ — возмущающее воздействие.

При выполнениии задания вид передаточных функций определяют по последней цифре номера зачетной книжки, а значения коэффициентов по предпоследней.

Таблица 1.1

Значения передаточных функций звеньев САУ

№/пп	Wн(p)	Wc(p)	Wp(p)	Wo(p)

Таблица 1.2

Значения коэффициентов передаточных функций

№	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
Kо	1,6	1,1	1,8	2,1	1,6	1,9	2,8	3,2	1,4	0,9
То
Т
Kр
Тн
Тg
Kс	0,1	0,4	0,3	0,7	0,9	1,8	1,2	0,9	2,0	1,7
Тс
Ни	1,2	1,2	1,2	1,2	1,2	1,2	1,2	1,2	1,2	1,2
Т1

1.1. Рассчитать передаточные функции разомкнутой и замкнутой САУ по каналам возмущающего воздействия λ и задания φ_3.

1.2. Выполнить анализ устойчивости замкнутой системы с применением алгебраического и частотного критериев устойчивости.

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

Передаточные функции соединения звеньев САУ

Звенья САУ могут соединяться последователь­но и параллельно. Последовательное соединение такое, при котором выход предыдущего звена является входом последующе­го. В этом случае передаточная функция цепочки звеньев равна произведению их передаточных функций.

Рис. 2.1 Последовательное соединение звеньев САУ

Результирующая передаточная функция равна отношению операторного изображения выходной величины к операторному изображению входной при нулевых начальных условиях

(2.1)

При параллельном включении звенья имеют общий вход, а выходной сигнал цепочки равен сумме выходных сигналов отдельных звеньев.

Рис. 2.2 Параллельное соединение звеньев САУ

Для этой схемы результирующая передаточная функция равна сумме передаточных функций отдельных звеньев и имеет вид:

(2.2)

Для замкнутых САУ характерно так называемое встречно-параллельное включение или соединение с обратной связью.

Рис. 2.3 Соединение с обратной связью

В этом случае результирующая передаточная функция равна дроби, числитель которой передаточ­ная функция прямой связи, а знаменатель — единица плюс или минус передаточная функция разомкнутого контура. Знак плюс соответствует отрицательной, а минус — положительной обратной связи.

(2.3)

Под прямой связью понимается передаточная функция между искомыми переменными по направлению прохождения сигнала без учета главной обратной связи. В рассматриваемой схеме передаточная функция прямой связи между λ и φ равна W_o(p), а между φ₃ и φ – W_p(p)W_c(p)W_o(p). Передаточная функция прямой связи между φ₃ и ε равна едини­це. Поэтому

где — передаточная функция разомкнутой САУ.

Выполняя несложные преобразования, определим

(2.4)

Для замкнутой системы передаточная функция по каналу равна:

(2.5)

Характеристическое уравнение замкнутой САУ

Для анализа устойчивости САУ необходи­мо знать характеристическое уравнение замкнутой системы. Оно получается, если приравнять знаменате­ль передаточной функции замкнутой системы нулю, т.е.

Известно правило, что при известной передаточной функции разомкнутой системы, характеристическое уравнение замкну­той системы получают сложением полиномов числителя и знаменате­ля и приравниванием полученной суммы нулю, A(p)+B(p)=0

В рассматриваемом примере (2.4)

Сложив их, получают в общем виде характеристическое уравнение замкнутой системы:

2. Математическое описание систем автоматического управления

Публикую первую часть второй главы лекций по теории автоматического управления.
В данной статье рассматриваются:

2.1. Получение уравнений динамики системы. Статическая характеристика. Уравнение динамики САУ (САР) в отклонениях
2.2. Линеаризация уравнений динамики САУ (САР)
2.3. Классический способ решения уравнений динамики

Лекции по курсу «Управление Техническими Системами», читает Козлов Олег Степанович на кафедре «Ядерные реакторы и энергетические установки», факультета «Энергомашиностроения» МГТУ им. Н.Э. Баумана. За что ему огромная благодарность.

Данные лекции только готовятся к публикации в виде книги, а поскольку здесь есть специалисты по ТАУ, студенты и просто интересующиеся предметом, то любая критика приветствуется.

2.1. Получение уравнений динамики системы. Статическая характеристика. Уравнение динамики САУ (САР) в отклонениях

При составлении уравнений, описывающих нестационарные процессы в САУ (САР) и которые в дальнейшем будем называть уравнениями динамики, система “разбивается” на отдельные элементы (звенья), для каждого из которых не существует проблем в записи соответствующего уравнения динамики.

На рис. 2.1.1 представлено схематичное представление САУ (звена) в переменных «вход-выход», где x(t) (или u(t)) — входное воздействие, а y(t) — выходное воздействие, соответственно. Нередко входное воздействие будет называться управляющим, а выходное воздействие — регулируемой величиной (переменной).

При составлении уравнений динамики используются фундаментальные законы сохранения из разделов “Механики”, “Физики”, “Химии” и др.

Например, при описании перемещения узла какого-то механизма силового привода используются законы сохранения: момента, энергии, импульса и др… В теплофизических (теплогидравлических) системах используются фундаментальные законы сохранения: массы (уравнение неразрывности), импульса (уравнение движения), энергии (уравнение энергии) и др

Уравнения сохранения в общем случае содержат постоянные и нестационарные члены, причем при отбрасывании нестационарных членов получают так называемые уравнения статики, которые соответствуют уравнениям равновесного состояния САУ (звена). Вычитанием из полных уравнений сохранения стационарных уравнений получают нестационарные уравнения САУ в отклонениях (от стационара).

где: — стационарные значения входного и выходного воздействий;
— отклонения от станционара, соотвесвенно.

В качестве примера рассмотрим «технологию» получения уравнений динамики для механического демпфера, схематическое изображение которого представлено на рис. 2.1.2.

Согласно 2-му закону Ньютона, ускорение тела пропорционально сумме сил, действующих на тело:

где, m — масса тела, F_j — все силы воздействующие на тело (поршень демпфера)

Подставляя в уравнение (2.1.1) все силы согласно рис. 2.2, имеем:

где — сила тяжести; — сила сопротивления пружины, — сила вязконо трения (пропорциональна скорости поршеня)

Размерности сил и коэффициентов, входящих в уравнение (2.1.2):

Предполагая, что при t ≤ 0 поршень демпфера находился в равновесии, то есть

перейдем к отклонениям от стационарного состояния:
Пусть при t>0 . Тогда, подставляя эти соотношения в уравнение (2.1.2), получаем:

если , то уравнение принимает вид:

Соотношение (2.1.4) – уравнение звена (демпфера) в равновесном (стационарном) состоянии, а соотношение (2.1.5) – статическая характеристика звена – демпфера (см. рисунок 2.1.3).

Вычитая из уравнения (2.1.3) уравнение (2.1.4), получаем уравнение динамики демпфера в отклонениях:

тогда, разделив на k, имеем:

Уравнение (2.1.6) — это уравнение динамики в канонической форме, т.е. коэффициент при Δy(t) равен 1.0!

«Легко» видеть, что коэффициенты перед членами, содержащими производные, имеют смысл (и размерность!) постоянных времени. В самом деле:

Таким образом, получаем, что:
— коэффициент перед первой производной имеет размерность [c] т.е. смысл некоторой постоянной времени;
— коэффициент перед второй производной: [];
— коэффициент в правой части (): [].
Тогда уравнение (2.1.6) можно записать в операторной форме:

, что эквивалентно

где: — оператор диффренцирования;
-линейный дифференциальный оператор;
— линейный дифференциальный оператор, вырожденный в константу, равную .

Анализ уравнения (2.1.6.а) показывает, что такое уравнение имеет размерные переменные, а также размерными являются все коэффициенты уравнения. Это не всегда удобно. Кроме того, если реальная САР (САУ) состоит из многих звеньев, выходными воздействиями которых являются различные физические переменные (скорость, температура, нейтронный поток, тепловой поток и т.д.), то значения коэффициентов могут различаться на большое число порядков, что ставит серьезные математические проблемы при численном решении уравнений динамики на компьютере (поскольку числа в компьютере всегда представляются с какой-то точностью). Одним из наилучших способов избежать численных трудностей является принцип нормализации, т.е. переход к безразмерным отклонениям, которые получены нормированием отклонения на стационарное значение соответствующей переменной.

Введем новые нормированные (безразмерные) переменные:

Подставляя эти соотношения в уравнение (2.1.2), имеем:

Поддчеркнутые члены выражения в сумме дают 0 (см. 2.1.4) Перенося в левую часть члены, содержащие , и, разделив на , получаем:

где: — коэффициент усиления, причем безразмерный.

Проверим размерность коэффициента

Использованный выше «технический» прием позволяет перейти к безразмерным переменным, а также привести вид коэффициентов в уравнении динамики к легко интерпретируемому виду, т.е. к постоянным времени (в соответствующей степени) или к безразмерным коэффициентам усиления.

На рис. 2.1.4 представлены статические характеристики для механического демпфера:

Процедура нормировки отклонений позволяет привести уравнения динамики к виду:

где дифференциальные операторы.

Если дифференциальные операторы — линейные, а статическая характеристика САУ (звена) – тоже линейна, то выражение (2.1.8) соответствует линейному обыкновенному дифференциальному уравнению (ОДУ).

А если – нелинейные дифференциальные операторы, или , то уравнение динамики — нелинейное. Под нелинейными действиями понимаются все математические действия, кроме сложения (+) и вычитания (-).

Пример создания модели демпфера можно посмотереть здесь: «Технология получения уравнений динамики ТАУ»

2.2. Линеаризация уравнений динамики САУ (САР)

Практически все реальные системы автоматического управления (САУ) являются нелинейными, причем нелинейность САУ может определяться различными причинами:

1. Нелинейностью статической характеристики.
2. Нелинейностью динамических членов в уравнениях динамики.
3. Наличием в САУ принципиально нелинейных звеньев.

Если в замкнутой САУ (САР) нет принципиально нелинейных звеньев, то в большинстве случаев уравнения динамики звеньев, входящих в систему, могут быть линеаризованы. Линеаризация основана на том, что в процессе регулирования (т.е. САУ с обратной связью) все регулируемые величины мало отклоняются от их программных значений (иначе система регулирования или управления не выполняла бы своей задачи).

Например, если рассмотреть управление мощностью энергетического ядерного реактора, то главная задача САР — поддержание мощности на заданном (номинальном) уровне мощности. Существующие возмущения (внутренние и внешние) “отрабатываются” САР и поэтому параметры ядерного реактора незначительно отличаются от стационарных. На рис. 2.2.1 представлена временная зависимость мощности ядерного реактора, где нормированные отклонения мощности ΔN /N₀ Рис. 2.2.1 – Пример изменения мощности реактора

Рассмотрим некоторое звено (или САР в целом), описание динамики которого можно представить в переменных “вход-выход”:

Предположим, что динамика данного звена описывается обыкновенным дифференциальным уравнением n-го порядка:

Перенесем в левую часть уравнения и запишем уравнение в виде%

где -– функция регулируемой переменной и ее производных, а также управляющего (входного) воздействия и его производных, причем F – обычно нелинейная функция.

Будем считать, что при t ≤ 0 САУ (звено) находилось в равновесии (в стационарном состоянии). Тогда уравнение (2.2.2) вырождается в уравнение статической характеристики:

Разложим левую часть уравнения (2.2.2) в ряд Тейлора в малой окрестности точки равновесного состояния .

Напомним, что разложение в ряд Тейлора трактуется следующим образом: если , то «простое» разложение функции в ряд Тейлора в окрестности точки будет выглядеть так:

C учетом вышеприведенного разложение принимает вид:

Предполагая, что отклонения выходных и входных воздействий незначительны, (т.е.:), оставим в разложении только члены первого порядка малости (линейные). Поскольку , получаем:

Подставляя соотношение (2.2.4) в уравнение (2.2.2), и перенося множители при у и u в разные части получаем уравнения:

Коэффициенты — постоянные коэффициенты, поэтому уравнения 2.2.5 — линейное дифференциальное с постоянными коэффициентами.

В дальнейшем нами будет часто использоваться операторная форма записи уравнений динамики:

где – оператор дифференцирования;
— линейный дифференциальный оператор степени n;
— линейный дифференциальный оператор степени m, причем обычно порядок оператора выше порядка оператора :

Уравнения (2.2.5) и (2.2.6) — уравнения динамики системы (звена) в отклонениях.

Если исходное уравнение (2.2.1) — дифференциальное уравнение в физических переменных (температура, скорость, поток и т.д.), то размерность коэффициентов может быть произвольной (любой).

Переход к нормализованным отклонениям позволяет “упорядочить” размерность коэффициентов. В самом деле, разделив уравнение (2.2.5) на начальные условия (значения в нулевой момент времени) и выполнив некоторые преобразования, получаем:

Приведение уравнения динамики САУ (звена) к нормализованному виду позволяет “унифицировать” размерность коэффициентов уравнений: ==>

Если вынести в правой части (2.2.7) коэффициент за общую скобку и разделить все уравнение на , то уравнение принимает вид:

или в операторном виде:

Линеаризация уравнений динамики и нормализация переменных позволяют привести уравнения динамики САУ (звена) к виду, наиболее удобному для использования классических методов анализа, т.е. к нулевым начальным условиям.

Пример

Выполнить линеаризацию уравнения динамики некоторой «абстрактной» САР в окрестности состояния (x₀, y₀), если полное уравнение динамики имеет вид:

Нелинейность полного уравнения динамики проявляется в следующем:

• во-первых, в нелинейности статической характеристики:

• во-вторых, слагаемое в левой части — чисто нелинейное, так как действие умножения является нелинейным.

Выполним процесс линеаризации исходного уравнения, динамики без разложения я ряд Тейлора, основываясь на том, что в окрестности состояния (x₀, y₀) нормированные отклонения управляющего воздействия и регулируемой величины намного меньше 1.

Преобразования выполним в следующей последовательности:

1. Перейдем к безразмерным переменным (нормализованным);
2. Выполним линеаризацию, отбросив нелинейные члены 2-го и выше порядков малости.

Перейдем к новым безразмерным переменным:

Заметим, что:
.

Подставляя значения x(t) и y(t) в исходное уравнение:

Удаляем полученного уравнения уравнения стационара: , а так же пренебрегая слагаемыми второго прядка малости: , получаем следующее уравнение:

Вводим новые обозначения:

Получаем уравнения в «почти» классическом виде:

Если в правой части вынести за общую скобку и разделить все уравнение на , то уравнение (линеаризованное) принимает вид:

Процедура нормализации позволяет более просто линеаризовать уравнение динамики, так как не требуется выполнять разложение в ряд Тейлора (хотя это и не сложно).

2.3. Классический способ решения уравнений динамики

Классический метод решения уравнений динамики САУ (САР) применим только для линейных или линеаризованных систем.

Рассмотрим некоторую САУ (звено), динамика которой описывается линейным дифференциальным уравнением вида:

Переходя к полной символике, имеем:

Выражение (2.3.2) — обыкновенное дифференциальное уравнение (ОДУ), точнее неоднородное ОДУ, так как правая часть ≠ 0.

Известно входное воздействие x(t), коэффициенты уравнения и начальные условия (т.е. значения переменных и производных при t = 0).

Требуется найти y(t) при известных начальных условиях.

где: — решение однородного дифференциального уравнения y_<част.>(t) $inline$ — частное решение. $inline$

Будем называть решение однородного дифференциального уравнения , собственным решением, так как его решение не зависит от входного воздействия, а полностью определяется собственными динамическими свойствами САУ (звена).

Вторую составляющую решения (2.3.3) будем называть , вынужденным, так как эта часть решения определяется внешним воздействием , поэтому САУ (САР или звено) “вынуждена отрабатывать” это воздействие:

Напомним этапы решения:

1) Если имеется уравнение вида , то сначала решаем однородное дифференциальное уравнение:

2) Записываем характеристическое уравнение:

3) Решая уравнение (2.3.5), которое является типичным степенным уравнением, каким-либо способом (в том числе и с помощью стандартных подпрограмм на компьютере) находим корни характеристического уравнения
4) Тогда собственное решение записывается в виде:

если среди нет повторяющихся корней (кратность корней равна 1).

Если уравнение (2.3.5) имеет два совпадающих корня, то собственное решение имеет вид:

Если уравнение (2.3.5) имеет k совпадающих корней (кратность корней равна k), то собственное решение имеет вид:

5) Вынужденную часть решения можно найти различными способами, но наиболее распространены следующие способы:
а) По виду правой части.
б) Методом вариации постоянных.
в) Другие методы…

Если вид правой части дифференциального уравнения – относительно несложная функция времени, то предпочтительным является способ а): подбор решения. .

6) Суммируя полученные составляющие (собственную и вынужденную), имеем:

7) Используя начальные условия (t = 0), находим значения постоянных интегрирования . Обычно получается система алгебраических уравнений. Решая систему, находим значения постоянных интегрирования

Пример

Найти аналитическое выражение переходного процесса на выходе звена, если

Решение. Запишем однородное ОДУ:
Характеристическое уравнение имеет вид: ; Решая, имеем: тогда:

где — неизвестные (пока) постоянные интегрирования.

По виду временной функции в правой части запишем как:

Подставляя в исходное уравнение, имеем:

Суммируя , имеем:

Используя 1-е начальное условие (при t = 0), получаем: , а из 2-го начального условия имеем:

Решая систему уравнений относительно и , имеем:
Тогда окончательно:

Что бы проверить результ, выполним моделирование процесса в SimInTech, для этого преобразуем исходное уравнение к виду:

Создадим модель SimInTech, содержащую исходное динамическое уравнение и полученное аналитическое решение, и выведем результаты на один график (см. рис. 2.3.1).

Рис. 2.3.1 – структурная схема для проверки решения

На рис. 2.3.2 приведено решение по вышеприведенному соотношению и численное решение задачи в среде SimInTech (решения совпадают и линии графиков «наложены» друг на друга).

Курсовая работа: Системы автоматического управления

1. Расчет коэффициента усиления САУ

2. Построение внешних статических характеристик

3. Расчет характеристических корней

4. Построение частотных характеристик САУ

5. Моделирование переходных характеристик исходной САУ

6. Проверка САУ на устойчивость

7. Синтез корректирующего устройства

8. Оптимизация САУ

1. Расчет коэффициента усиления САУ

Рис. 1. Структурная схема исходной САУ.

Параметры схемы исходной САУ:

Название: Системы автоматического управления Раздел: Рефераты по коммуникации и связи Тип: курсовая работа Добавлен 02:17:56 08 апреля 2010 Похожие работы Просмотров: 1936 Комментариев: 19 Оценило: 2 человек Средний балл: 5 Оценка: неизвестно Скачать

a1	0	b2	0.042	c1	0.2	d2	0	g	1,8…8
a0	6	b1	1,864	c0	3	d1	0.01	z	0…-9

Передаточные функции звеньев:

;

Уравнение замкнутой системы имеет вид:

,

где – передаточная функция замкнутой системы по задающему воздействию;

– передаточная функция замкнутой системы по возмущающему воздействию.

,(при z=0)

Расчет коэффициента усиления К САУ (рис.1) проводим для определения его значения, при котором суммарная статическая ошибка ε не будет превышать при изменении задания и возмущения

Так как кроме коэффициента усиления на величину ошибки влияют значения управляющего и возмущающего воздействий, причем наибольшая величина ε достигается при действии на систему минимального управляющего воздействия и максимального возмущающего z , то при единичном коэффициенте передачи цепи обратной связи суммарная статическая ошибка может быть найдена как:

где y – выходная переменная.

Значение выходной переменной y определяется реакцией САУ на сумму управляющего и возмущающего воздействий. Поэтому:

.

Здесь Kg , Kz – представляют собой суммарные коэффициенты усиления соответственно задающего и возмущающего воздействия и могут быть определены из передаточных функций системы, найденных по задающему и возмущающему воздействиям.

;

Подставляя значение y из выражения (3) в выражение (1) и решая полученное уравнение относительно K , входящего в выражения для Kg и Kz , определяют коэффициент усиления САУ (рис.1), при котором суммарная статическая ошибка ε не превышает заданного значения.

Суммарная статическая ошибка

,

2. Построение внешних статических характеристик

Построим внешние статические характеристики для замкнутой САУ в заданном диапазоне. Для этого построим график функции

,

=0,9986875,

=0.0039375,

т.е. .

Берем три значения из заданного диапазона.

Получаем уравнение прямой для каждого значения y.

g=1.8	y=1.797637	y=1.7622
g=4	y=3.99475	y=3.959312
g=8	y=7.9895	y=7.954063

Рис. 2. Графики внешних статических характеристик замкнутой САУ:

а) – значение задающего воздействия g=8

б) – значение задающего воздействия g=4

в) – значение задающего воздействия g=1.8

3. Расчёт корней характеристического уравнения

Для САУ с отрицательной обратной связью передаточная функция имеет следующий вид:

Характеристическое уравнение передаточной функции:

Найдём корни характеристического уравнения:

Решая кубическое уравнение в среде MatCad получаем корни:

Предварительно: САУ устойчива, т.к. вещественная часть комплексно сопряженных корней отрицательна. Переходная характеристика является сходящейся, с частотой

,

, с декрементом затухания

,

коэффициент затухания δ=-64.8.

4. Построение частотных характеристик САУ

Рассчитаем и построим логарифмические амплитудную частотную (ЛАЧХ) и фазовую частотную (ЛФЧХ) характеристики замкнутой системы.

Передаточная функция замкнутой системы:

Получим выражение для комплексно-частотной функции:

Вещественная частотная функция:

Мнимая частотная функция:

На практике АЧХ и ФЧХ изображают в логарифмическом масштабе. Это позволяет упростить расчет и анализ характеристик.

ЛАЧХ – логарифмическая амплиудно-частотная характеристика.

ЛФЧХ – логарифмическая фазо-частотная характеристика.

Рис.3. Логарифмические амплитудно-частотная и частотно-фазовая

Частота при которой называется частота среза (частота единичного усиления)

Из графиков видно, что запас устойчивости по амплитуде бесконечен, т.к. ЛФЧХ не пересекает угол -180˚.

Запас устойчивости по фазе имеет конечное значение (180˚-159˚=21˚).

Согласно критерию Найквиста, если система устойчива в разомкнутом состоянии, то для устойчивости соответствующей замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы АФЧХ разомкнутой системы при изменении частоты от 0 до ¥ не охватывала точку (–1;j0) на комплексной плоскости.

Как видим из граф. что по Найквисту система устойчива, т.к. точку (-1,j0) АФЧХ данной условно разомкнутой САУ не охватывает.

5. Моделирование переходных характеристик исходной САУ

а) при отсутствии возмущений для граничных значений g

Рис. 5 Переходная характеристика САУ при минимальном задающем воздействии и отсутствии задания.

,

время переходного процесса: t_пп =0.045с

время регулирования t_p =0.0051c

при подачи сигналаg =8

Рис. 6 Переходная характеристика САУ при максимальном задающем воздействии и отсутствии задания.

,

время переходного процесса: t_пп =0.045с

время регулирования t_p =0.0052с

б)переходный процесс:при действующих максимальных возмущениях для граничных значений g

при подачи сигналаg =1.8 и возмущающем воздействии z=-9

Рис. 7 Переходная характеристика САУ при максимальном возмущающем и минимальном задающем воздействиях

,

время переходного процесса: t_пп =0.045с

время регулирования t_p =0.0049c

,

время переходного процесса: t_пп =0.102с,

время регулирования t_p =0.0045c,

переходный процесс: при действующих максимальных возмущениях для граничных значений g при подачи сигналаg =8, и возмущающем воздействии z=-9

Рис. 8 Переходная характеристика САУ при максимальном возмущающем и максимальном задающем воздействиях

,

время переходного процесса: t_пп =0.045с

время регулирования t_p =0.0049c

,

время переходного процесса: t_пп =0.14с

время регулирования t_p =0.0043c

6. Проверка САУ на устойчивость

Проверка на устойчивость замкнутой САУ производится с помощью алгебраического критерия Гурвица:

По Гурвицу: передаточная функция замкнутой системы в динамическом режиме имеет вид:

Характеристическое уравнение имеет вид:

.

Обозначим:

Составляем определитель Гурвица:

=> исходная САУ устойчива.

7 Синтез корректирующего устройства, обеспечивающего настройку исходной системы на симметричный оптимум

Синтез корректирующего устройства проводится для обеспечения оптимальных показателей качества регулирования САУ путем настройки ее на симметричный оптимум.

Передаточная функция разомкнутой системы:

Коэффициент демпфирования второго звена

По средствам пакета Mathсad найдем корни характеристического уравнения:

, т.е.

Где

Желаемая передаточная функция разомкнутой системы, настроенной на симметричный оптимум, имеет вид:

где наименьшая постоянная времени нескорректированной системы.

Обозначив как передаточную функцию корректирующего устройства (регулятора), можно отыскать:

.

Рис. 9. Структурная схема скорректированной разомкнутой САУ

Параметры корректирующих звеньев:

1. Пропорциональное звено К=199.5

2. Интегрирующие звенья

, Т₁ =0.04 с

, Т₂ =1.852 с

, Т₃ =0.067 с

3. Дифференцирующее звено

, Т=0.023 с

Рис.10. Модель скорректированной САУ в Matlab

a) минимальное значение управляющего (g=1.8) и отсутствие возмущающего (z=0) воздействий: g =1.8

Рис.11. Переходная характеристика скорректированной САУ при минимальном задающем и отсутствии возмущающего воздействия (g=1.8 z=0)

время переходного процесса:

б) максимальное значение управляющего (g=8) и отсутствие возмущающего (z=0) воздействий: g =8

Рис.12. Переходная характеристика скорректированной САУ при максимальнм задающим и отсутствии возмущающего воздействия (g=8 z=0)

время переходного процесса:

в) минимальное значение управляющего (g=1.8) и максимальное возмущающее (z=9) воздействий g=8

Рис.13. Переходная характеристика скорректированной САУ при минимальном задающим и максимальным возмущающим воздействии (g=1.8 z=-9)

перерегулирование:

время переходного процесса:

г) максимальное значение управляющего (g=8) и максимальное возмущающее (z=9) воздействий g=8

Рис.14. Переходная характеристика скорректированной САУ при максимальном задающим и максимальным возмущающим воздействии (g=8 z=-9)

время переходного процесса:

Рис.15. АФЧХ разомкнутой скорректированной САУ

Как видно из рисунка характеристика не охватывает точку [-1:0]. Из этого следует что разомкнутая, а следовательно соответственно, замкнутая САУ устойчива (по Найквисту).

Рис.16. ЛАЧХ и ЛФЧХ разомкнутой скорректированной САУ

Запас устойчивости по амплитуде определяется величиной допустимого подъема ЛАЧХ, при котором система окажется на грани устойчивости. Из рисунка видно что запас по амплитуде бесконечен т.к. ЛФЧХ не достигает критической фазы .

Запас устойчивости по фазе определяется величиной избытка фазы, на который должен вырасти запаздывание САУ при частоте среза, чтобы САУ оказалась на границе устойчивости:

8. Оптимизация САУ

Объект управления содержит в себе звено второго порядка, которое на практике реализовать достаточно трудно. Следовательно, адекватно было бы упростить объект управления, понизив его порядок. Передаточная функция ОУ имеет вид:

— форсирующую постоянную времени

— три инерционные постоянные времени:

Так как процесс определяет инерционная составляющая равна Т_и2 = 1.852, то можно пренебречь форсажом 0.2 и малыми инерционными составляющими Т_и1 = 0.023, Т_и3 = 0.01. т.к. они лежат справа от рабочей полосы частот, получим ОУ вида

Для данного ОУ получим регулятор:

где наименьшая постоянная времени нескорректированной системы ()

Рис.17. Схема САУ с упрощенным ОУ упрощенным регулятором

Рис.18. ЛАЧХ и ЛФЧХ разомкнутой системы с упрощенным ОУ упрощенным регулятором

Запас устойчивости по амплитуде определяется величиной допустимого подъема ЛАЧХ, при котором система окажется на грани устойчивости. Из рисунка видно что запас по амплитуде бесконечен т.к. ЛФЧХ не достигает критической фазы .

Запас устойчивости по фазе определяется величиной избытка фазы, на который должен вырасти запаздывание САУ при частоте среза, чтобы САУ оказалась на границе устойчивости:

Рис.19. Переходная характеристика скорректированной САУ с упрощенным ОУ при минимальном задающем и отсутствии возмущающего воздействия (g=1.8 z=0)

,

время переходного процесса:

Рис.10. Модель скорректированной САУ в Matlab

Рис.20. ЛАЧХ и ЛФЧХ разомкнутой скорректированной САУ

Рис.21. Переходная характеристика скорректированной САУ при минимальном задающем и отсутствии возмущающего воздействия (g=1.8 z=0)

время переходного процесса:

В рамках курсовой работы был проведен синтез САУ с заданным качеством. Был рассчитан коэффициент передачи исходной САУ с заданной статической ошибкой и с учетом влияния задающего и возмущающего воздействий. Были рассчитаны и построены статические внешние характеристики замкнутой САУ.

По характеристическому уравнению предварительно было определено, что исходная САУ устойчива, а график переходной характеристики представляет собой сходящиеся колебания. Для условно разомкнутой САУ были построены логарифмические характеристики (ЛАЧХ и ЛФЧХ). Так как САУ, по предварительной оценке, неустойчива, то нельзя говорить о параметрах запаса САУ по фазе и амплитуде.

По критерию Гурвица, после составления матрицы третьего порядка, было определено, что САУ устойчива. Проверку правильности решения матрицы третьего порядка провели на основе моделирования в пакете Mathlab критерия Найквиста. Был проведен синтез корректирующего устройства, обеспечивающего устойчивость исходной САУ и ее настройка на симетричный оптимум.

Были смоделированы, в пакете Mathlab, переходные процессы скорректированной САУ и определены время переходных процессов и величина перерегулирования.

На основе ЛАЧХ и ЛФЧХ скорректированной САУ был определен запас по фазе и амплитуде.

1. Теория автоматического управления: Учеб. для вузов. – Ч. 1. Теория линейных систем автоматического управления / Под ред. А. А. Воронова. – 2-е изд., перераб. и доп. – М.: Высш. шк., 1986.

2. Иванов Е. А., Сильченкова В. В. Исследование качества и синтез линейных систем автоматического управления: Учеб. пособие по курсу «Теория автоматического управления». – М.: МИЭТ, 1982.

3. Иванов Е. А., Сильченкова В. В. Линейные системы автоматического управления: Учеб. пособие. – М.: МИЭТ, 1980.